Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. В сосновой роще сосен в 24 раза больше, чем других деревьев. Треть сосен срубили. Во сколько раз сосен теперь больше, чем других деревьев?
2. Одновременно навстречу друг другу выехали из пункта $A$ экспресс и из пункта $B$ товарный поезд. Экспресс ехал в 2 раза быстрее товарного. До встречи поезда ехали 12 часов. Сколько часов ехал экспресс и сколько — товарный поезд?
3. Пройдя неполный эскалатор, Дима насчитал 150 ступенек. Двигающийся эскалатор каждый шаг уносит на 2 ступени в минуту. Пешком Дима шёл со скоростью 4 ступени в секунду, не пользуясь движением эскалатора. За сколько секунд Дима спустился вниз?
4. За каждый верно решённый номер ученик получает 5 баллов, а за неверно — снимают 3 балла. Ученик записал решение 30 задач и заработал 70 баллов. Сколько задач он решил верно?
5. Несколько длинных брёвен распилили на 99 коротких, при этом сделали 55 распилов. Сколько брёвен было изначально? Каждый распил делали по одному бревну.
6. После повышения цены билета в 2 раза, количество посетителей музея уменьшилось в 3 раза. До повышения музей в день зарабатывал 378 тыс. рублей. Сколько тыс. рублей в день получает музей после повышения цены билета?
7. 10 мышей съедают 200 г сыра за 20 минут. За сколько минут 5 мышей съедят 300 г сыра?
8. Куб с ребром 40 см сложили из кубиков с ребром 1 см. Внутри куб пуст. Во сколько раз площадь поверхности всех маленьких кубиков вместе больше площади поверхности большого куба?
9. Первый трактор вспахивает 10 га/ч, второй — 12 га/ч. Они работали одновременно, и второй вспахал на 18 га больше. Сколько гектаров вспахали вместе за всё время совместной работы?
10. Замените звёздочки *** + **** (трёхзначное и четырёхзначное числа) на цифры 2, 3, 4, 5 так, чтобы сумма была наименьшей. В решении напишите два слагаемых и сумму этих чисел.
11. Прямоугольный бак длиной 24 м и шириной 6 м содержит 432 м³ воды. Какой высоты (в метрах) уровень воды в баке?
12. Полная окружность — 360 градусов. На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2,5 часа?
13. Чтобы прополоть поле размером 50 м на 30 м нужно 10 работников. Сколько работников понадобится, чтобы прополоть поле 40 м на 120 м?
14. Квадрат разрезали на два равных прямоугольника. Периметр одного равен 96 см. На сколько сумма периметров обоих прямоугольников больше периметра квадрата?
    
15. Число 0.4 (записано девятьсот один раз подряд) поделили на 22. Сколько нулей в записи полученного числа?
16. Три ученика составили список из 15 фамилий, среди которых только одна настоящая. Каждый назвал не более 7 фамилий. Любые два ученика назвали по одной настоящей. Сколько фамилий назвал каждый?

Решения задач

1. В сосновой роще сосен в 24 раза больше, чем других деревьев. Треть сосен срубили. Во сколько раз сосен теперь больше, чем других деревьев?
   Решение: Пусть других деревьев было \( x \), тогда сосен было \( 24x \). После вырубки осталось \( \frac{2}{3} \cdot 24x = 16x \) сосен. Соотношение сосен к другим деревьям: \( \frac{16x}{x} = 16 \).
   Ответ: 16.
   
   
2. Одновременно навстречу друг другу выехали из пункта \( A \) экспресс и из пункта \( B \) товарный поезд. Экспресс ехал в 2 раза быстрее товарного. До встречи поезда ехали 12 часов. Сколько часов ехал экспресс и сколько — товарный поезд?
   Решение: Поскольку поезда встретились через 12 часов, оба двигались до встречи одинаковое время.
   Ответ: Экспресс — 12 часов, товарный поезд — 12 часов.
   
   
3. Пройдя неполный эскалатор, Дима насчитал 150 ступенек. Двигающийся эскалатор каждый шаг уносит на 2 ступени в минуту. Пешком Дима шёл со скоростью 4 ступени в секунду, не пользуясь движением эскалатора. За сколько секунд Дима спустился вниз?
   Решение: Скорость эскалатора: \( \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \) ступеней/сек. Общая скорость Димы: \( 4 - \frac{1}{30} = \frac{119}{30} \) ступеней/сек. Время: \( \frac{150}{\frac{119}{30}} \approx 38 \) секунд.
   Ответ: 38.
   
   
4. За каждый верно решённый номер ученик получает 5 баллов, а за неверно — снимают 3 балла. Ученик записал решение 30 задач и заработал 70 баллов. Сколько задач он решил верно?
   Решение: Пусть верных задач \( x \). Уравнение: \( 5x - 3(30 - x) = 70 \). Решение: \( 8x = 160 \), \( x = 20 \).
   Ответ: 20.
   
   
5. Несколько длинных брёвен распилили на 99 коротких, при этом сделали 55 распилов. Сколько брёвен было изначально?
   Решение: Количество брёвен после распилов: \( 99 = N + 55 \). Отсюда \( N = 44 \).
   Ответ: 44.
   
   
6. После повышения цены билета в 2 раза, количество посетителей музея уменьшилось в 3 раза. До повышения музей в день зарабатывал 378 тыс. рублей. Сколько тыс. рублей в день получает музей после повышения цены билета?
   Решение: Новая выручка: \( \frac{2}{3} \cdot 378 = 252 \) тыс. рублей.
   Ответ: 252.
   
   
7. 10 мышей съедают 200 г сыра за 20 минут. За сколько минут 5 мышей съедят 300 г сыра?
   Решение: Время пропорционально количеству сыра и обратно пропорционально числу мышей: \( 20 \cdot \frac{300}{200} \cdot \frac{10}{5} = 60 \) минут.
   Ответ: 60.
   
   
8. Куб с ребром 40 см сложили из кубиков с ребром 1 см. Внутри куб пуст. Во сколько раз площадь поверхности всех маленьких кубиков вместе больше площади поверхности большого куба?
   Решение: Площадь поверхности большого куба: \( 6 \cdot 40^2 = 9600 \) см². Количество маленьких кубиков: \( 40^3 - 38^3 = 9128 \). Их общая площадь: \( 9128 \cdot 6 = 54768 \) см². Отношение: \( \frac{54768}{9600} \approx 5.7 \).
   Ответ: 5.7.
   
   
9. Первый трактор вспахивает 10 га/ч, второй — 12 га/ч. Они работали одновременно, и второй вспахал на 18 га больше. Сколько гектаров вспахали вместе за всё время совместной работы?
   Решение: Время работы \( t \): \( 12t - 10t = 18 \), \( t = 9 \) часов. Общая площадь: \( (10 + 12) \cdot 9 = 198 \) га.
   Ответ: 198.
   
   
10. Замените звёздочки *** + **** (трёхзначное и четырёхзначное числа) на цифры 2, 3, 4, 5 так, чтобы сумма была наименьшей. В решении напишите два слагаемых и сумму этих чисел.
    Решение: Наименьшая сумма достигается при \( 345 + 2345 = 2690 \).
    Ответ: 345 и 2345, сумма 2690.
    
    
11. Прямоугольный бак длиной 24 м и шириной 6 м содержит 432 м³ воды. Какой высоты (в метрах) уровень воды в баке?
    Решение: Высота \( h \): \( 24 \cdot 6 \cdot h = 432 \), \( h = 3 \).
    Ответ: 3.
    
    
12. Полная окружность — 360 градусов. На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2,5 часа?
    Решение: За 1 час — 30°, за 2.5 часа: \( 30 \cdot 2.5 = 75° \).
    Ответ: 75.
    
    
13. Чтобы прополоть поле размером 50 м на 30 м нужно 10 работников. Сколько работников понадобится, чтобы прополоть поле 40 м на 120 м?
    Решение: Площадь нового поля: \( 40 \cdot 120 = 4800 \) м². Коэффициент увеличения: \( \frac{4800}{1500} = 3.2 \). Число работников: \( 10 \cdot 3.2 = 32 \).
    Ответ: 32.
    
    
14. Квадрат разрезали на два равных прямоугольника. Периметр одного равен 96 см. На сколько сумма периметров обоих прямоугольников больше периметра квадрата?
    Решение: Сторона квадрата \( a \): \( 3a = 96 \), \( a = 32 \). Периметр квадрата: \( 4 \cdot 32 = 128 \) см. Сумма периметров прямоугольников: \( 2 \cdot 96 = 192 \) см. Разность: \( 192 - 128 = 64 \) см.
    Ответ: 64.
    
    
15. Число 0.4 (записано девятьсот один раз подряд) поделили на 22. Сколько нулей в записи полученного числа?
    Решение: При делении периодической дроби количество нулей зависит от позиционирования. Ответ: 1 ноль.
    Ответ: 1.
    
    
16. Три ученика составили список из 15 фамилий, среди которых только одна настоящая. Каждый назвал не более 7 фамилий. Любые два ученика назвали по одной настоящей. Сколько фамилий назвал каждый?
    Решение: Ученики назвали 7, 7, 3 фамилий соответственно, чтобы соблюсти условия пересечений.
    Ответ: 7, 7, 3.