Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

25.04.2023

1. Финиш. Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники финишировали в разное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на восьмом месте, а Вася был пятнадцатым с конца. Сколько человек участвовало в гонке?
   
   
2. Нуль. Сумма двух чисел равна 407, одно из них оканчивается нулём. Если зачеркнуть этот нуль, то получится второе число. Какие это числа (до зачеркивания)?
   
   
3. Краска. На окраску всех граней кубика ушло 7 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится граммов краски, чтобы покрасить неокрашенную часть поверхности этих кубиков?
   
   
4. Коврик. Туристический коврик толщиной 1 см сложили пополам (толщина стала 2 см). Всего складывали его пополам 3 раза. Какой толщины получился коврик?
   
   
5. Пчёлы. Чтобы получить 1 кг мёда, пчёлам нужно посетить 5 миллионов цветов. В день пчелиная семья посещает 3 тысячи цветов. В улье 200 рабочих пчёл. За сколько дней пчёлы сделают 1 кг мёда?
   
   
6. Офисы. В городе 50 офисов. В некоторой части из них есть кондиционеры, в половине оставшихся кондиционеров нет, а в остальных 2 кондиционера. Сколько всего может быть кондиционеров в этих офисах?
   
   
7. Делители. У двух натуральных чисел нет общих делителей, кроме 1, а их произведение равно 900. Найдите сумму этих чисел.
   
   
8. Канцелярия. 6 тетрадей, 4 ручки и 3 карандаша стоят 940 рублей, а 3 тетради, 4 ручки и 5 карандашей стоят 820 рублей. Сколько стоит одна тетрадь, одна ручка и один карандаш?
   
   
9. Шаги. Папа и сын пошли в школу. У папы шаг в полтора раза длиннее, чем у сына. За один шаг мама делает 3 шага, а сын делает 5 шагов. Сын сделал 500 шагов. Сколько шагов сделал папа?
   
   
10. Среднее. Сумма трёх различных натуральных чисел равна 199. Какое наибольшее значение может принимать среднее по величине число?
    
    
11. Бег. По круговой дорожке длиной 300 м одновременно в одном направлении выбежали Антон и Олег. Антон обгоняет Олега через каждые 12 минут. Через 48 минут бег прекратили. На сколько больше метров пробежал Антон, чем Олег?
    
    
12. Кубики. Куб 3×3×3 сложен из 27 маленьких кубиков, один из которых чёрный, а остальные — белые. По взмаху волшебной палочки каждый белый кубик, имеющий общую грань (квадратик) с чёрным кубиком, тоже становится чёрным. Сколько чёрных кубиков станет после двух взмахов?
    
    
    
13. Рыцари. В замке живут 8 человек — рыцари и лжецы. Первый сказал: «В этой комнате не менее одного лжеца». Второй сказал: «В этой комнате не менее двух лжецов». И так далее до девятого, который сказал: «В этой комнате не менее девяти лжецов». Известно, что каждый из лжецов считает остальных других тоже лжецами (то есть лжец — лжец — лжец), а рыцарь считает остальных рыцарями. Сколько было рыцарей и лжецов?
    
    
14. Поле. На доске написаны 1, 2, 3, ..., 18, 19. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их сумму, умноженную на 2. Например, стерев 3, 5 и записав 2·(3+5) = 16. Какое число останется после 18 таких операций?
    
    
15. Поля. Периметр поля 1500 м, его разделили прямым забором на два поля. Периметры полей стали 1000 м и 900 м. На какую длину забора в метрах?
    
    
16. Шкатулки. Одинаковые шкатулки с пронумерованными ключами от 1 до 15, 2, 4, 5, 6, 7. В одной из них находится бриллиант, а в другой — ключ от неё. Остальные ключи открывают остальные шкатулки. Известно, что в одной из 7 шкатулок — бриллиант, а в оставшихся ключи. Какую шкатулку (только одну) вы откроете, чтобы узнать, в какой из них лежит бриллиант? Ответ обоснуйте.
    
    

Решения задач

1. Финиш. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на восьмом месте, а Вася был пятнадцатым с конца.
   Решение: Поскольку Петя финишировал восьмым, перед ним 7 участников. Вася финишировал перед Петей, значит он был седьмым с начала. С конца Вася был пятнадцатым, поэтому общее число участников: $7 + 15 = 22$. Однако, учитывая, что Вася и Петя занимают два места, правильный расчёт: $15$ (с конца) $+ 7$ (с начала) $- 1 = 21$.
   Ответ: 21.
   
   
2. Нуль. Сумма двух чисел равна 407, одно из них оканчивается нулём.
   Решение: Пусть первое число $10x$, второе $x$. Тогда $10x + x = 407 \Rightarrow 11x = 407 \Rightarrow x = 37$. Числа: $370$ и $37$.
   Ответ: 370 и 37.
   
   
3. Краска. Кубик распилили на 8 частей.
   Решение: После распила общая площадь поверхностей маленьких кубиков увеличилась вдвое. Изначально краска покрывала $6a^2$, новая площадь $12a^2$. Неокрашенными остались $6a^2$, что требует $7$ г краски.
   Ответ: 7 г.
   
   
4. Коврик. Складывание пополам три раза.
   Решение: Толщина удваивается каждый раз: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8$ см.
   Ответ: 8 см.
   
   
5. Пчёлы. Для 1 кг мёда нужно $5\,000\,000$ цветов.
   Решение: В день посещают $3\,000$ цветов. Дней: $\frac{5\,000\,000}{3\,000} \approx 1667$.
   Ответ: 1667 дней.
   
   
6. Офисы. Всего кондиционеров.
   Решение: Пусть $x$ офисов с кондиционерами. Тогда: $x + (50 - x) = 50$.
   Ответ: 50.
   
   
7. Делители. Произведение взаимно простых чисел 900.
   Решение: Пары: $4$ и $225$. Сумма: $4 + 225 = 229$.
   Ответ: 229.
   
   
8. Канцелярия. Система уравнений: \[ \begin{cases} 6т + 4р + 3к = 940 \\ 3т + 4р + 5к = 820 \end{cases} \] Решение: Вычитание уравнений даёт $3т - 2к = 120$. Подстановка приводит к $т = 80$, $р = 70$, $к = 60$. Сумма: $80 + 70 + 60 = 210$.
   Ответ: 210.
   
   
9. Шаги. Папа делает шаг в $1.5$ раза длиннее.
   Решение: Сын сделал $500$ шагов. Папа: $\frac{500}{1.5} \approx 333$ шагов. Однако, учитывая соотношение скоростей, ответ: $100$ шагов.
   Ответ: 100.
   
   
10. Среднее. Максимизация среднего числа.
    Решение: Минимизация меньших чисел: $1$, $2$, $196$. Среднее: $98$.
    Ответ: 98.
    
    
11. Бег. Разница скоростей.
    Решение: За $48$ минут разница: $25$ м/мин $\cdot 48 = 1200$ м.
    Ответ: 1200 м.
    
    
12. Кубики. После двух взмахов.
    Решение: Первый взмах окрашивает соседей, второй — их соседей. Всего $19$ кубиков.
    Ответ: 19.
    
    
13. Рыцари. Анализ утверждений.
    Решение: Рыцари $1$–$4$, лжецы $5$–$8$. Утверждения соответствуют $4$ лжецам.
    Ответ: 4 рыцаря, 4 лжеца.
    
    
14. Поле. Итоговое число.
    Решение: Сумма увеличивается на $2L$: $1500 + 2 \cdot 200 = 1900$. Итог: $190 \cdot 2^{18}$.
    Ответ: $190 \cdot 262144$.
    
    
15. Поля. Длина забора.
    Решение: Сумма периметров: $1500 + 2L = 1900 \Rightarrow L = 200$ м.
    Ответ: 200 м.
    
    
16. Шкатулки. Открытие одной шкатулки.
    Решение: Открыть шкатулку $7$. Если ключ от $7$ — бриллиант там, иначе — по цепочке.
    Ответ: 7.