Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

16.05.2023

1. Площадь. Квадратная рамка имеет высоту 27 см и ширину 11 см. Найдите площадь рамки в квадратных сантиметрах.
   
   
   
2. Учителя. После экзамена 7 учителей за 2 часа проверили 175 работ. За сколько часов 3 учителя проверят 150 работ? Все учителя проверяют работы с одинаковой скоростью.
   
   
3. Записи. В классе 25 детей, все мальчики записались в две секции, а все девочки — в три секции. Всего записей в секции оказалось 64. Сколько в классе девочек?
   
   
4. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 144 км/ч. После того, как он снизил скорость, то стал проезжать 600 м на 5 секунд медленнее, чем раньше. С какой скоростью стал ехать автомобиль? Ответ дайте в километрах в час.
   
   
5. Площадь. Квадрат со стороной 5 м и прямоугольник со стороной 1 см имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в метрах.
   
   
6. Делимость. Сколько чисел от 1 до 5000 включительно делятся и на 12, и на 18 одновременно?
   
   
7. Максимум. Найдите наибольшее натуральное число, в записи которого нет одинаковых цифр, а сумма цифр равна 12.
   
   
8. Куб. Куб со стороной 15 см собран из белых и чёрных кубиков со стороной 1 см, которые уложены в шахматном порядке. Угловые кубики белые. На сколько больше в этом кубе белых кубиков, чем чёрных? Внутри куба пустот нет.
   
   
   
9. Туннель. Поезд длиной 400 м проехал туннель со скоростью 60 км/ч. От момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля, прошло 108 секунд. Какой длины был туннель? Ответ дайте в метрах.
   
   
10. Договоры. На встрече подписано 30 договоров, на каждом договоре поставили 3 подписи. Каждый участник встречи подписал 5 договоров. Сколько было участников?
    
    
11. Гуси. Летела стая гусей, а навстречу гусь. Он говорит: «Здравствуйте, 100 гусей!» А ему отвечают: «Если бы нас было ещё столько же, и ещё половина стаи, и ещё четверть стаи, да ещё ты, гусь, то нас было бы 100». Сколько было гусей в стае?
    
    
12. Тетради. 5 тетрадей, 4 ручки и 2 карандаша стоят 520 рублей, а 2 тетради, 4 ручки и 5 карандашей стоят 460 рублей. На сколько рублей подешевле тетрадь дорогого карандаша?
    
    
13. Таблица. В прямоугольной таблице в каждой клетке записано число. В каждой строке сумма чисел равна 100, а в каждом столбце — 80. В правом нижнем углу таблицы число на 20 больше, чем сумма всех чисел в таблице. Числа могут быть в разных ячейках.
    
    
14. Ребусы. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых есть цифры 1, 2 и 3, при этом число делится на 5?
    
    
15. Нули. Петя перемножил 30 подряд идущих натуральных чисел. Вася перемножил 40 чисел, затем от перемножения вычел 1. У кого получилось больше нулей в конце числа?
    
    
16. Ребус. В примере на сложение разными буквами обозначены разные цифры:
    
    
    Чему равна буква R?

Решения задач

1. Площадь. Квадратная рамка имеет высоту 27 см и ширину 11 см. Найдите площадь рамки в квадратных сантиметрах.
   Решение: Внешний квадрат имеет сторону 27 см, внутренний квадрат — сторону $27 - 2 \cdot 11 = 5$ см. Площадь рамки равна разности площадей:
   $27^2 - 5^2 = 729 - 25 = 704$ см².
   Ответ: 704.
2. Учителя. После экзамена 7 учителей за 2 часа проверили 175 работ. За сколько часов 3 учителя проверят 150 работ?
   Решение: Производительность одного учителя: $\frac{175}{7 \cdot 2} = 12,5$ работ/час. Для 3 учителей: $3 \cdot 12,5 = 37,5$ работ/час. Время проверки 150 работ: $\frac{150}{37,5} = 4$ часа.
   Ответ: 4.
3. Записи. В классе 25 детей, все мальчики записались в две секции, а все девочки — в три секции. Всего записей в секции оказалось 64. Сколько в классе девочек?
   Решение: Пусть девочек $D$, мальчиков $M$. Тогда:
   $M + D = 25$ и $2M + 3D = 64$.
   Подставляя $M = 25 - D$:
   $2(25 - D) + 3D = 64 \Rightarrow D = 14$.
   Ответ: 14.
4. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 144 км/ч. После снижения скорости он стал проезжать 600 м на 5 секунд медленнее. Новая скорость:
   Решение: Изначальная скорость $40$ м/с. Время проезда 600 м: $15$ сек. Новое время: $20$ сек. Новая скорость: $\frac{600}{20} = 30$ м/с = $108$ км/ч.
   Ответ: 108.
5. Площадь. Квадрат со стороной 5 м и прямоугольник со стороной 1 см имеют равные площади. Вторая сторона прямоугольника:
   Решение: Площадь квадрата $25$ м². Сторона прямоугольника: $\frac{25}{0,01} = 2500$ м.
   Ответ: 2500.
6. Делимость. Числа, делящиеся на 12 и 18, делятся на НОК(12, 18) = 36. Количество таких чисел до 5000: $\left\lfloor \frac{5000}{36} \right\rfloor = 138$.
   Ответ: 138.
7. Максимум. Наибольшее число с разными цифрами и суммой 12: 54210.
   Ответ: 54210.
8. Куб. В кубе 15×15×15 количество белых кубиков больше чёрных на 1.
   Ответ: 1.
9. Туннель. Длина туннеля: $60$ км/ч = $16\frac{2}{3}$ м/с. Пройденное расстояние за 108 сек: $1800$ м. Длина туннеля: $1800 - 400 = 1400$ м.
   Ответ: 1400.
10. Договоры. Общее число подписей: $30 \cdot 3 = 90$. Участников: $\frac{90}{5} = 18$.
    Ответ: 18.
11. Гуси. Уравнение: $x + x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + 1 = 100 \Rightarrow x = 36$.
    Ответ: 36.
12. Тетради. Система уравнений:
    $\begin{cases} 5т + 4р + 2к = 520 \\ 2т + 4р + 5к = 460 \end{cases} \Rightarrow т - к = 20$.
    Ответ: 20.
13. Таблица. Сумма всех чисел $S$. Число в углу: $S + 20$. Условие противоречиво, ответ требует уточнения.
    Ответ: Задача требует дополнительных данных.
14. Ребусы. Четырёхзначные числа, содержащие 1, 2, 3 и делящиеся на 5: 12 чисел (6 с окончанием 0 и 6 с окончанием 5).
    Ответ: 12.
15. Нули. У Пети (30 чисел) нулей больше, так как вычитание 1 у Васи уменьшает их количество.
    Ответ: Петя.
16. Ребус. Анализ переносов разрядов даёт значение R = 9.
    Ответ: 9.