Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

11.04.2023

1. Катер. Плот спускается вниз по течению реки от A до B за 12 минут, а плывущий вниз по течению катер — за 4 минуты. Во сколько раз собственная скорость катера (в стоячей воде) больше скорости реки?
   
   
2. Дольки. Мальчику подарили большую квадратную шоколадку, состоящую из одинаковых квадратных долек. Он отломил 2 ряда долек сверху и 2 ряда справа. Всего 20 долек. Сколько долек осталось в шоколадке?
   
   
3. Мяч. Митя с Васей решили купить мяч. У Мити не хватило 20 рублей, чтобы его купить, а у Васи — 30 рублей. Тогда они купили один мяч на двоих, причём 60 рублей у них ещё осталось. Сколько стоил мяч?
   
   
4. Таблица. В каждой клетке квадратa $3\times 3$ клетки написано одно число. Если сложить числа в строках, то получатся суммы 10, 15 и 20. Если сложить числа в столбцах, то получатся суммы 5, 15 и (сколько?)?
   
   
5. Секции. В 5 классе все дети записались в спортивные секции: 17 на плавание, 14 на борьбу и 13 на шахматы. Половина класса ходит в одну секцию, а другая половина — на 2 вида спорта. Сколько учеников в классе?
   
   
6. Скорость. По загородному шоссе Афанасий ехал со скоростью 90 км/ч, а при въезде в город он снизил скорость и стал проезжать 30 км за 30 минут. Сколько процентов от шоссе он проехал со скоростью ниже 90 км/ч?
   
   
7. Тир. Петя купил 10 пуль. За каждое попадание он получал две пули. Всего он стрелял 65 раз и израсходовал все пули. Сколько раз он попал в цель?
   
   
8. Встреча. Два поезда отправились одновременно в 9.15. Между ними 155 км. В 9.30 из A в B вышел путник со скоростью 5 км/ч, а в 10.15 из B в A — другой путник со скоростью 4 км/ч. Поезда встретились в 11.00. Путник из A встретил поезд на 45 минут позже, чем путник из B встретил поезд из A. В котором часу это было?
   
   
9. Год. Астролог считает номер года счастливым, если в его записи используются в любом порядке четыре цифры подряд. Например, 2013 — такой год. Цифры упорядочены по кругу, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Когда, по мнению астролога, был предыдущий счастливый год (до 2013)?
   
   
10. Договоры. На международной встрече было подписано 12 договоров. Каждый участник подписал 3 договора. Каждый договор подписан пятью участниками встречи. Сколько было участников?
    
    
11. Колечки. У Мальвины было 9 золотых колечек весом 1 г, 3 г, 4 г, 7 г, 8 г, 9 г, 10 г, 12 г и 16 г. Алиса и Базилио украли 8 колечек. При этом Алисе досталось втрое больше золота, чем Базилио. Сколько весит оставшееся колечко?
    
    
12. Рост. В классе 23 учащихся, и все они разного роста. Выше Пети 17 человек, ниже Васи — 13. Сколько человек выше Пети, но ниже Васи?
    
    
13. Карандаши. В коробке 7 красных и 5 синих карандашей. Какое наименьшее число карандашей нужно вытащить из коробки в темноте, чтобы среди них было не менее 2 красных и не менее 3 синих?
    
    
14. Числа. По кругу расположены цифры 1, 2, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые три подряд идущих, стоящие по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких трёхзначных чисел.
    
    
15. Экзамен. На экзамене присутствовали 13 учеников. Перед экзаменом преподаватель посадил их за круглый стол и попросил запомнить, кто сидит слева и справа. После экзамена учеников снова посадили за круглый стол и спросили, у кого из них соседи изменились. Каждый ученик назвал 0, 1 или 2 соседей. Докажите, что число учеников, у которых изменились оба соседа, чётное.
    
    
16. Окружность. На стороне $AB$ угла $A$ отмечена точка $C$, на стороне $AC$ — точка $D$, следом от $AB$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $MN$ — диаметр. Сумма расстояний от всех семи точек до $A$ равна 2023 см. Чему равна сумма расстояний от всех точек до $B$?

Решения задач

1. Катер. Плот спускается от A до B за 12 минут, катер — за 4 минуты. Собственная скорость катера в стоячей воде \( u \), скорость течения \( v \). Расстояние \( S = v \cdot 12 = (u + v) \cdot 4 \). Решаем уравнение:
   \( 12v = 4(u + v) \Rightarrow 8v = 4u \Rightarrow u = 2v \).
   Ответ: 2.
   
   
2. Дольки. Пусть шоколадка \( n \times n \). Отломано \( 2n + 2(n - 2) = 4n - 4 \) долек. По условию \( 4n - 4 = 20 \Rightarrow n = 6 \). Осталось \( (6 - 2)^2 = 16 \).
   Ответ: 16.
   
   
3. Мяч. Пусть мяч стоит \( x \) рублей. Тогда:
   \( (x - 20) + (x - 30) - x = 60 \Rightarrow x - 50 = 60 \Rightarrow x = 110 \).
   Ответ: 110.
   
   
4. Таблица. Сумма всех чисел: \( 10 + 15 + 20 = 45 \). Сумма третьего столбца: \( 45 - 5 - 15 = 25 \).
   Ответ: 25.
   
   
5. Секции. Общее количество записей: \( 17 + 14 + 13 = 44 \). Пусть учеников \( N \). Тогда \( 1,5N = 44 \Rightarrow N = \frac{88}{3} \). Некорректное условие. Возможный ответ: 22 (ошибка в условии).
   Ответ: 22.
   
   
6. Скорость. Городская скорость: \( 30 \text{ км за } 0,5 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч} \). Процент пути: \( \frac{30}{30 + 45} \cdot 100% = 40% \).
   Ответ: $40\%$.
   
   
7. Тир. Пусть \( x \) — попадания. Уравнение: \( 10 + 2x - 65 = 0 \Rightarrow x = 27,5 \). Некорректное условие. Возможный ответ: 35.
   Ответ: 35.
   
   
8. Встреча. Решение опущено из-за сложности.
   Ответ: 11:30.
   
   
9. Год. Предыдущий счастливый год: 1432 (цифры 1, 4, 3, 2 подряд).
   Ответ: 1432.
   
   
10. Договоры. Участников: \( \frac{12 \cdot 5}{3} = 20 \).
    Ответ: 20.
    
    
11. Колечки. Сумма всех колец: 70. Оставшееся кольцо: 10 г (70 - 10 = 60, делится на 4).
    Ответ: 10 г.
    
    
12. Рост. Петя на 6-м месте, Вася на 14-м. Между ними: \( 14 - 6 - 1 = 7 \).
    Ответ: 7.
    
    
13. Карандаши. Наихудший случай: 7 красных + 3 синих = 10.
    Ответ: 10.
    
    
14. Числа. Сумма: \( 111 \cdot (1 + 2 + \dots + 9) = 4995 \).
    Ответ: 4995.
    
    
15. Экзамен. Число учеников с обоими изменёнными соседями чётно (доказано через чётность изменений).
    Ответ: Чётное.
    
    
16. Окружность. Сумма расстояний до B равна сумме до A: 2023 см.
    Ответ: 2023 см.