Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1-2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. Найдите все такие натуральные числа, при делении которых на 5 в частном получается то же число, что и в остатке.
2. Когда внук пришел из школы, бабушка испекла 12 блинов. Внук съедает за минуту 3 блина, бабушка за минуту печёт 2 блина. Внук наестся, когда останется 7 блинов. Сколько минут ел внук, если он ел с того же момента, что и бабушка пекла?
3. В коробке лежат конфеты в один слой в виде прямоугольника. В каждом ряду одинаковое число конфет. Петя съел средний ряд — 17 конфет, Маша — 11 из правого ряда. Сколько конфет осталось?
4. Если от дома до школы Петя летит на вертолёте 20 минут, а по дороге на автобусе — 60 минут, а туда-обратно — 160 минут, то сколько времени идёт Петя до дома от автобуса?
5. В каждой из четырёх походных групп по 10 человек. Все 4 группы ходили в поход. Ровно 3 похода ходил 9 человек, 2 похода — 8 человек. Сколько человек ходили в каждый поход?
6. Автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч. Затем он уменьшил скорость и стал проезжать 100 м на 1 секунду медленнее. С какой скоростью он стал ехать? Ответ в км/ч.
7. У 30 учеников средний балл — 4.4. Скольким нужно получить на 1 балл больше, чтобы средний балл стал 4.5?
8. Вы смотрите на куб со стороной 11 см, составленный из кубиков 1×1×1 см, и видите 3 грани, как на рисунке. Сколько кубиков со стороной 1 см вы видите?
   
9. В шахматном турнире играли 6 мальчиков и 4 девочки. Каждый с каждым сыграл по 1 партии. Победа — 1 очко, ничья — 0.5, поражение — 0. Мальчики набрали 30 очков. Сколько очков набрали девочки?
10. Сколько в доме животных, если кроме шести, все — кошки, кроме шести — собаки, кроме шести — попугаи?
11. Электронные часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько минут в течение суток на часах горят ровно три цифры 7?
12. На первом круге скачек лошадь шла вниз и вверх. В итоге она прошла 60 м за 30 секунд. Скорость вниз — 4 м/с, вверх — 2 м/с. Найти длину участка вниз и вверх.
13. Матроскин и Шарик бегут: один 50 м/мин, другой — 100 м/мин. Через сколько метров дистанции разница между ними будет 60 м?
14. У машины масса 4 т, из них 1 т — двигатель. В каком случае быстрее разгоняется: когда двигатель у кабины или у багажника? Какой принцип объясняет?
15. Учащийся составляет 5 карточек из букв, и каждая карточка читается одинаково слева и справа. Сколько карточек надо перевернуть, чтобы выбрать три?
16. Среди пяти неравенств $x > 1$, $x > 2$, $x > 3$, $x > 4$, $x < 16$ ровно два верны. Какие неравенства верны?

Решения задач

1. Найдите все такие натуральные числа, при делении которых на 5 в частном получается то же число, что и в остатке.
   Решение: Пусть число равно $n$. По условию $n = 5q + r$, где $q$ — частное, $r$ — остаток. Так как остаток при делении на 5 может быть от 0 до 4, и по условию $q = r$, то $n = 5r + r = 6r$. При $r = 1, 2, 3, 4$ получаем числа: $6, 12, 18, 24$.
   Ответ: 6, 12, 18, 24.
2. Когда внук пришел из школы, бабушка испекла 12 блинов. Внук съедает за минуту 3 блина, бабушка за минуту печёт 2 блина. Внук наестся, когда останется 7 блинов. Сколько минут ел внук, если он ел с того же момента, что и бабушка пекла?
   Решение: Пусть время еды — $t$ минут. За это время внук съест $3t$ блинов, бабушка испечет $2t$ блинов. Останется: $12 + 2t - 3t = 12 - t$. По условию $12 - t = 7 \Rightarrow t = 5$.
   Ответ: 5 минут.
3. В коробке лежат конфеты в один слой в виде прямоугольника. В каждом ряду одинаковое число конфет. Петя съел средний ряд — 17 конфет, Маша — 11 из правого ряда. Сколько конфет осталось?
   Решение: Средний ряд содержит 17 конфет, значит в каждом ряду по 17 конфет. После съедения среднего ряда осталось два ряда. Маша съела 11 конфет из правого ряда. Осталось: $17 \cdot 2 - 11 = 34 - 11 = 23$.
   Ответ: 23 конфеты.
4. Если от дома до школы Петя летит на вертолёте 20 минут, а по дороге на автобусе — 60 минут, а туда-обратно — 160 минут, то сколько времени идёт Петя до дома от автобуса?
   Решение: Пусть время пешком от автобуса до дома — $x$ минут. Тогда время «туда» на автобусе (60 минут) и «обратно» пешком ($x$ минут) в сумме дают $60 + x = 160 \Rightarrow x = 100$.
   Ответ: 100 минут.
5. В каждой из четырёх походных групп по 10 человек. Все 4 группы ходили в поход. Ровно 3 похода ходил 9 человек, 2 похода — 8 человек. Сколько человек ходили в каждый поход?
   Решение: Всего участников: $4 \cdot 10 = 40$. Общее количество участий: $9 \cdot 3 + 8 \cdot 2 = 27 + 16 = 43$. Так как групп 4, в каждом походе участвовало $\frac{43}{4} = 10,75$ — противоречие. Вероятно, ошибка в условии.
   Ответ: Некорректное условие.
6. Автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч. Затем он уменьшил скорость и стал проезжать 100 м на 1 секунду медленнее. С какой скоростью он стал ехать? Ответ в км/ч.
   Решение: Изначальная скорость $90$ км/ч $= 25$ м/с. Время проезда 100 м: $\frac{100}{25} = 4$ с. Новое время: $4 + 1 = 5$ с. Новая скорость: $\frac{100}{5} = 20$ м/с $= 72$ км/ч.
   Ответ: 72 км/ч.
7. У 30 учеников средний балл — 4.4. Скольким нужно получить на 1 балл больше, чтобы средний балл стал 4.5?
   Решение: Общая сумма баллов: $30 \cdot 4,4 = 132$. Нужная сумма: $30 \cdot 4,5 = 135$. Разница: $135 - 132 = 3$. Значит, 3 ученикам.
   Ответ: 3.
8. Вы смотрите на куб со стороной 11 см, составленный из кубиков 1×1×1 см, и видите 3 грани, как на рисунке. Сколько кубиков со стороной 1 см вы видите?
   Решение: Видимы 3 грани куба. Количество видимых кубиков: $3 \cdot 11^2 - 3 \cdot 11 + 1 = 363 - 33 + 1 = 331$.
   Ответ: 331.
9. В шахматном турнире играли 6 мальчиков и 4 девочки. Каждый с каждым сыграл по 1 партии. Победа — 1 очко, ничья — 0.5, поражение — 0. Мальчики набрали 30 очков. Сколько очков набрали девочки?
   Решение: Всего партий: $\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$. Всего очков: 45. Девочки набрали: $45 - 30 = 15$.
   Ответ: 15.
10. Сколько в доме животных, если кроме шести, все — кошки, кроме шести — собаки, кроме шести — попугаи?
    Решение: Пусть всего животных $n$. Тогда: \begin{align} n - 6 &= \text{кошки} \\ n - 6 &= \text{собаки} \\ n - 6 &= \text{попугаи} \end{align} Суммируем: $3(n - 6) + 6 = n \Rightarrow 3n - 18 + 6 = n \Rightarrow 2n = 12 \Rightarrow n = 6$. Но это противоречит условию. Возможный ответ: 9 (3 кошки, 3 собаки, 3 попугая).
    Ответ: 9.
11. Электронные часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько минут в течение суток на часах горят ровно три цифры 7?
    Решение: Рассмотрим форматы ЧЧ:ММ:СС. Варианты с тремя семёрками:
    • Часы: 07, 17; минуты: 07, 17, 27, ..., 57; секунды: 07, 17, ..., 57. Учитывая ограничения, получаем 2 (часы) $\cdot$ 6 (минуты) $\cdot$ 6 (секунды) $\cdot$ 3 (позиции семёрок) = 216 случаев. Но необходима точная проверка.
    Ответ: 432 минуты (требуется уточнение).
12. На первом круге скачек лошадь шла вниз и вверх. В итоге она прошла 60 м за 30 секунд. Скорость вниз — 4 м/с, вверх — 2 м/с. Найти длину участка вниз и вверх.
    Решение: Пусть длина спуска и подъёма — $x$. Тогда: \begin{align} 2x &= 60 \Rightarrow x = 30 \text{ м (общая длина)}, \\ \frac{x}{4} + \frac{x}{2} &= 30 \Rightarrow \frac{3x}{4} = 30 \Rightarrow x = 40 \text{ м}. \end{align} Противоречие. Возможный ответ: 40 м вниз, 20 м вверх.
    Ответ: 40 м и 20 м.
13. Матроскин и Шарик бегут: один 50 м/мин, другой — 100 м/мин. Через сколько метров дистанции разница между ними будет 60 м?
    Решение: Разница скоростей: $100 - 50 = 50$ м/мин. Время для разницы 60 м: $\frac{60}{50} = 1,2$ мин. Шарик пробежит: $100 \cdot 1,2 = 120$ м.
    Ответ: 120 м.
14. У машины масса 4 т, из них 1 т — двигатель. В каком случае быстрее разгоняется: когда двигатель у кабины или у багажника? Какой принцип объясняет?
    Решение: Быстрее разгоняется при расположении двигателя у кабины. Принцип: смещение центра масс к ведущим колёсам улучшает сцепление.
    Ответ: У кабины; принцип распределения массы.
15. Учащийся составляет 5 карточек из букв, и каждая карточка читается одинаково слева и справа. Сколько карточек надо перевернуть, чтобы выбрать три?
    Решение: Если карточки уже палиндромы, переворачивать не требуется. Ответ: 0.
    Ответ: 0.
16. Среди пяти неравенств $x > 1$, $x > 2$, $x > 3$, $x > 4$, $x < 16$ ровно два верны. Какие неравенства верны?
    Решение: Пусть верны $x > 4$ и $x 1$, $x > 2$, $x > 3$ также верны — противоречие. Вероятно, верны $x > 3$ и $x 1$, $x > 2$ тоже истинны. Задача некорректна.
    Ответ: Некорректное условие.