Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

11.04.2023

1. Катер. Плот спускается вниз по течению реки от A до B за 18 минут, а плывущий вниз по течению катер — за 6 минут. Во сколько раз собственная скорость катера (в стоячей воде) больше скорости реки?
   
   
2. Дольки. Малышу подарили большую квадратную шоколадку, состоящую из одинаковых квадратных долек. Он отломил 2 ряда долек сверху и 2 ряда справа. Всего 24 дольки. Сколько долек осталось в шоколадке?
   
   
3. Мяч. Митя с Ваней решили купить мяч. У Мити не хватило 30 рублей, чтобы его купить, а у Вани — 45 рублей. Тогда они купили один мяч на двоих, причём 90 рублей у них ещё осталось. Сколько стоил мяч?
   
   
4. Таблица. В каждой клетке квадрата 3×3 клетки написано одно число. Если сложить числа в строках, то получаются суммы 10, 15 и 50. Если сложить числа в столбцах, то получаются суммы 20, 25 и $\underline{\phantom{42}}$. Сколько?
   
   
5. Секции. В 5 классе все дети записались в спортивные секции: 18 на плавание, 7 на борьбу и 14 на шахматы. Половина класса записалась на 1 вид спорта, а другая половина — на 2 вида спорта. Сколько учеников в классе?
   
   
6. Скорость. По загородному шоссе Афанасий ехал со скоростью 90 км/ч, а при въезде в город снизил скорость и стал проезжать за 1 минуту на километр меньше, чем по шоссе. С какой скоростью он стал ехать по городу?
   
   
7. Тир. Петя купил 10 пуль. За каждое попадание он получает ещё 2 пули. Всего он стрелял 20 раз и израсходовал все пули. Сколько раз он попал?
   
   
8. Путник. Из A в B ведет единственная дорога длиной 15 км. В 9:00 из A в B вышел путник со скоростью 4 км/ч. На следующий день он вышел в 10:30 из B в A со скоростью 5 км/ч. Путник заметил, что переходил один и тот же участок дороги в одно и то же время. В котором часу это было?
   
   
9. Год. Астролог считает номер года счастливым, если в его записи используются в любом порядке четыре цифры подряд. Например, 1980 — такой год. Цифры упорядочены по кругу: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Когда, по мнению астролога, был предыдущий счастливый год (до 1980)?
   
   
10. Договоры. На международной встрече было подписано 9 договоров. Каждый участник подписал три договора. Каждый договор подписали пять участников встречи. Сколько было участников?
    
    
11. Колечки. У Мальвины было 9 золотых колечек весом 1 г, 3 г, 4 г, 6 г, 8 г, 9 г, 11 г, 12 г и 16 г. Алиса и Базилио украли 8 колечек. При этом Алисе досталось втрое больше золота, чем Базилио. Сколько весит оставшееся колечко?
    
    
12. Рост. В классе 25 учащихся, и все они разного роста. Выше Пети 17 человек, ниже Васи — 13. Сколько человек выше Пети, но ниже Васи?
    
    
13. Карандаши. В коробке 7 красных и 9 синих карандашей. Какое наименьшее число карандашей нужно вытащить из коробки не глядя, чтобы среди них было не меньше 2 красных и не меньше 2 синих?
    
    
14. Числа. По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, ..., 8 и проведены прямые. Каждые три подряд стоящие цифры на круге образуют трехзначное число. Найдите сумму всех восьми таких трехзначных чисел.
    
    
15. Стулья. В школе колдовства 17 учеников. Перед экзаменом преподаватель посадил их за круглый стол и подписал стулья именами всех сдающих экзамен. Каждый ученик под себя и двух соседей бросал заклинание. Если хотя бы один из них сдал экзамен — он говорил "угадал", иначе — "не угадал". Колдовство не помогло 4 ученикам. Сколько стульев подписаны правильно?
    
    
16. На отрезке AB отмечено несколько точек. Если отсчёт отрезка AB принять за 0 и 1, слева от AB отмечен отрезок длиной 1, а справа — длиной 2. Сумма квадратов расстояний от всех этих точек до A равна 223, а до B — 222. Сколько точек было?
    
    

Решения задач

1. Катер. Плот спускается вниз по течению реки от A до B за 18 минут, а плывущий вниз по течению катер — за 6 минут. Во сколько раз собственная скорость катера (в стоячей воде) больше скорости реки?
   Решение: Пусть скорость реки \( v \), собственная скорость катера \( u \). Скорость плота равна \( v \). Расстояние между A и B одинаково для плота и катера: \[ S = v \cdot 18 = (u + v) \cdot 6 \] Разделим уравнения: \[ \frac{v \cdot 18}{(u + v) \cdot 6} = 1 \quad \Rightarrow \quad 3v = u + v \quad \Rightarrow \quad u = 2v \] Ответ: 2.
2. Дольки. Малышу подарили большую квадратную шоколадку, состоящую из одинаковых квадратных долек. Он отломил 2 ряда долек сверху и 2 ряда справа. Всего 24 дольки. Сколько долек осталось в шоколадке?
   Решение: Пусть исходный размер шоколадки \( N \times N \). Отломано: \[ 2N + 2(N - 2) = 24 \quad \Rightarrow \quad 4N - 4 = 24 \quad \Rightarrow \quad N = 7 \] Осталось: \[ (7 - 2) \times (7 - 2) = 5 \times 5 = 25 \] Ответ: 25.
3. Мяч. Митя с Ваней решили купить мяч. У Мити не хватило 30 рублей, а у Вани — 45 рублей. Они купили мяч вместе, и у них осталось 90 рублей. Сколько стоил мяч?
   Решение: Пусть мяч стоит \( x \) рублей. Тогда: \[ (x - 30) + (x - 45) = x + 90 \quad \Rightarrow \quad 2x - 75 = x + 90 \quad \Rightarrow \quad x = 165 \] Ответ: 165.
4. Таблица. В квадрате 3×3 суммы строк равны 10, 15, 50. Суммы столбцов: 20, 25 и неизвестное. Найти недостающую сумму.
   Решение: Общая сумма по строкам: \[ 10 + 15 + 50 = 75 \] Сумма столбцов: \[ 20 + 25 + x = 75 \quad \Rightarrow \quad x = 30 \] Ответ: 30.
5. Секции. В классе 18 учеников на плавании, 7 на борьбе, 14 на шахматах. Половина записалась на 1 вид, половина — на 2. Сколько учеников?
   Решение: Общее количество записей: \[ 18 + 7 + 14 = 39 \] Пусть учеников \( 2n \). Тогда: \[ n \cdot 1 + n \cdot 2 = 3n = 39 \quad \Rightarrow \quad n = 13 \quad \Rightarrow \quad 2n = 26 \] Ответ: 26.
6. Скорость. Афанасий ехал по шоссе со скоростью 90 км/ч. В городе стал проезжать на 1 км меньше за минуту. Найти скорость в городе.
   Решение: По шоссе за минуту проезжает: \[ \frac{90}{60} = 1.5 \text{ км} \] В городе: \[ 1.5 - 1 = 0.5 \text{ км/мин} = 30 \text{ км/ч} \] Ответ: 30.
7. Тир. Петя купил 10 пуль. За попадание получал 2 пули. Стрелял 20 раз, израсходовал все пули. Сколько попаданий?
   Решение: Пусть попаданий \( x \). Тогда: \[ 10 + 2x - 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Ответ: 5.
8. Путник. Из A в B (15 км) вышел в 9:00 со скоростью 4 км/ч. На следующий день вышел из B в 10:30 со скоростью 5 км/ч. Пересек один участок в одно время. Когда?
   Решение: Пусть время пересечения \( t \) часов после 9:00. Тогда: \[ 4t = 15 - 5(t - 25.5) \quad \Rightarrow \quad 9t = 142.5 \quad \Rightarrow \quad t = 15.8333 \text{ ч} = 15\text{ч}50\text{мин} \] Время: 9:00 + 15ч50мин = 00:50 следующего дня. Но второй путник вышел в 10:30, поэтому пересечение в 11:30.
   Ответ: 11:30.
9. Год. Предыдущий счастливый год до 1980, где четыре цифры идут подряд по кругу.
   Решение: Цифры 9,0,1,2 идут подряд. Ближайший год — 1902.
   Ответ: 1902.
10. Договоры. Подписано 9 договоров, каждый участник подписал 3 договора, каждый договор подписали 5 участников. Сколько участников?
    Решение: Общее количество подписей: \[ 9 \cdot 5 = 45 \] Участников \( N \): \[ 3N = 45 \quad \Rightarrow \quad N = 15 \] Ответ: 15.
11. Колечки. Украли 8 колец. Алисе досталось втрое больше Базилио. Вес оставшегося кольца?
    Решение: Суммарный вес всех колец: \[ 1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 16 = 70 \] Украдено \( 70 - x \). Условие: \[ 70 - x \equiv 0 \pmod{4} \quad \Rightarrow \quad x \equiv 2 \pmod{4} \] Единственное подходящее кольцо — 6 г.
    Ответ: 6.
12. Рост. Выше Пети 17 человек, ниже Васи —13. Всего 25 человек. Сколько выше Пети, но ниже Васи?
    Решение: Петя на 8-м месте снизу, Вася на 12-м. Между ними: 12 - 8 -1 = 3.
    Ответ: 3.
13. Карандаши. Наименьшее число карандашей, чтобы было не меньше 2 красных и 2 синих.
    Решение: Худший случай: 9 синих + 2 красных = 11.
    Ответ: 11.
14. Числа. Сумма всех восьми трехзначных чисел по кругу из цифр 1-8.
    Решение: Каждая цифра встречается в каждом разряде по разу. Сумма: \[ (1+2+\dots+8) \cdot 111 = 36 \cdot 111 = 3996 \] Ответ: 3996.
15. Стулья. 17 учеников, 4 сказали "не угадал". Сколько стульев подписано правильно?
    Решение: Каждый из 4 учеников и их соседи не сдали. Минимальное количество не сдавших — 12. Правильных стульев: 17 - 12 = 5.
    Ответ: 5.
16. На отрезке AB. Сумма квадратов расстояний до A равна 223, до B —222. Количество точек.
    Решение: Пусть точек \( n \). Из уравнений: \[ \sum x_i^2 = 223, \quad \sum (x_i -1)^2 = 222 \] Раскрывая второе: \[ 223 - 2\sum x_i + n = 222 \quad \Rightarrow \quad 2\sum x_i = n +1 \] Подбором \( n = 25 \).
    Ответ: 25.