Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

07.03.2023

1. Карта. Расстояние на карте между городами 15 см. Чему равно расстояние между городами на земле, если все расстояния уменьшены в 5 миллионов раз? Ответ дайте в километрах.
   
   
2. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 15 км/ч. Затем он увеличил скорость и стал каждый километр проезжать на 1 минуту быстрее, чем в начале. С какой скоростью он стал ехать? Ответ дайте в километрах в час.
   
   
3. Вода. В пустой аквариум длиной 60 см и шириной 40 см налили 96 литров воды. На какую высоту поднялась вода в аквариуме? Ответ дайте в сантиметрах.
   
   
4. Делимость. Сколько чисел от 1 до 1000 делятся и на 3, и на 7 одновременно?
   
   
5. Кубики. У Вани 100 кубиков — красных, синих и зелёных. 75 — не красные, 60 — не синие. Сколько зелёных кубиков у Вани?
   
   
6. Ошибки. Ученики получили список из 24 трудных слов. За каждое неверно написанное слово ученик получал ещё 3 новых слова. Чебурашка получил в сумме 63 слова и больше ошибок не делал. Сколько всего слов с ошибками было у Чебурашки?
   
   
7. Туннель. Поезд длиной 500 м проехал туннель длиной 2 км со скоростью 60 км/ч. Сколько времени прошло от момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля? Ответ дайте в секундах.
   
   
8. Плитки. 4 рабочих за 3 часа уложили плитками комнату размером 50 $\times$ 50 см под комнаты размером 6 $\times$ 6 м. Сколько понадобится рабочих, чтобы уложить 960 таких комнат за 8 часов работы?
   
   
9. Делитель. На какое число поделили 300, если в частном получилось 5, а в остатке 30?
   
   
10. Турист. Турист прошёл от базы в 2 раза меньшее расстояние, чем ему осталось пройти, а через час ему оставалось пройти расстояние в 5 раз меньшее, чем он уже прошёл от базы. Какую часть пути прошёл турист за указанный час?
    
    
11. Минимум. Найдите наименьшее натуральное число с суммой цифр 36, в записи которого все цифры различны.
    
    
12. Группы. В классе 28 учеников, и каждый ходит хотя бы в один из трёх кружков: на математику ходит 15 человек, на физику 17, на информатику 18. Из них три кружка не ходит никто. Сколько человек ходит на 2 кружка?
    
    
13. Сумма. Ученики складывали двухзначные числа и по ошибке в конце второго из них приписали лишнюю цифру 0. В результате вместо правильного ответа 231 они получили сумму 951. Какие числа они складывали?
    
    
14. Клетки. В клетчатом прямоугольнике 60$\times$70 закрасили по периметру рамку шириной 3 клетки. Сколько всего клеток закрасили?
    
    
15. Стороны. Прямоугольник составлен из семи одинаковых плиток, как показано на рисунке. Периметр прямоугольника 190 см. Найдите стороны плитки в сантиметрах.
    
    
    
16. Палиндром. Назовём число зеркальным, если оно «читается» слева направо так же, как и справа налево. Например, 12321 — зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел?

Решения задач

1. Карта. Расстояние на карте 15 см соответствует уменьшению в 5 миллионов раз. Реальное расстояние:
   $15 \text{ см} \cdot 5\,000\,000 = 75\,000\,000 \text{ см} = 750 \text{ км}$.
   Ответ: 750 км.
   
   
2. Скорость. Изначальное время на 1 км: $\frac{1}{15}$ ч = 4 мин. Новое время: 3 мин = $\frac{1}{20}$ ч. Новая скорость:
   $\frac{1}{\frac{1}{20}} = 20$ км/ч.
   Ответ: 20 км/ч.
   
   
3. Вода. Объём воды: $96$ л = $96\,000$ см³. Площадь дна: $60 \cdot 40 = 2400$ см². Высота:
   $\frac{96\,000}{2400} = 40$ см.
   Ответ: 40 см.
   
   
4. Делимость. Числа, кратные НОК(3,7)=21. Количество:
   $\left\lfloor \frac{1000}{21} \right\rfloor = 47$.
   Ответ: 47.
   
   
5. Кубики. Красных: $100 - 75 = 25$. Синих: $100 - 60 = 40$. Зелёных:
   $100 - 25 - 40 = 35$.
   Ответ: 35.
   
   
6. Ошибки. Добавлено слов: $63 - 24 = 39$. Ошибок:
   $\frac{39}{3} = 13$.
   Ответ: 13.
   
   
7. Туннель. Общий путь: $2000 + 500 = 2500$ м. Скорость: $60$ км/ч = $16\frac{2}{3}$ м/с. Время:
   $\frac{2500}{16\frac{2}{3}} = 150$ с.
   Ответ: 150 с.
   
   
8. Плитки. Площадь комнаты: $6 \times 6 = 36$ м². Количество плиток на комнату:
   $\frac{36}{0,5 \times 0,5} = 144$. Рабочих:
   $\frac{960 \times 144}{4 \times 3} \cdot \frac{3}{8} = 1440$.
   Ответ: 1440.
   
   
9. Делитель. Уравнение: $300 = 5d + 30$. Отсюда:
   $d = \frac{300 - 30}{5} = 54$.
   Ответ: 54.
   
   
10. Турист. Пусть начальный пройденный путь $x$, остаток $2x$. После часа остаток $\frac{x + v}{5}$, где $v$ — скорость. Решая систему, получаем:
    За час прошёл $\frac{1}{3}$ пути.
    Ответ: $\frac{1}{3}$.
    
    
11. Минимум. Наименьшее число: 156789 (сумма цифр 1+5+6+7+8+9=36).
    Ответ: 156789.
    
    
12. Группы. По принципу включения-исключения:
    $15 + 17 + 18 - x = 28 \Rightarrow x = 22$.
    Ответ: 22.
    
    
13. Сумма. Разность сумм: $951 - 231 = 720$. Ошибочное число: $\frac{720}{9} = 80$. Исходные числа: 80 и 151 (не двузначные — противоречие, возможна ошибка в условии).
    Ответ: 80 и 151.
    
    
14. Клетки. Закрашено: $60 \times 70 - 54 \times 64 = 744$.
    Ответ: 744.
    
    
15. Стороны. Пусть плитка $x \times y$. Из периметра $2(5x + 2y) = 190$ и конфигурации: $x = 10$ см, $y = 15$ см.
    Ответ: 10 см и 15 см.
    
    
16. Палиндром. Количество: $9 \times 10 \times 10 = 900$.
    Ответ: 900.