8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2022
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2022 год


18.03.2022



  1. Веса. Малыш сравнивает свои игрушки на весах. Оказалось, что лодку уравновесили мяч и 2 кубика, а лодку с кубиком уравновесили 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят лодку?

  2. Лжецы. В классе 30 учеников, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Их рассадили за двухместные парты, после чего каждый заявил: «мой сосед по парте лжец». Затем их пересадили. Мог ли после этого каждый заявить, что его сосед по парте рыцарь?

  3. Шары. Есть 7 одинаковых на вид шаров, один из которых волшебный. Можно поместить в магический прибор 3 шара, после чего он укажет на волшебный, если он есть, либо на произвольный, если его нет. Можно ли за 3 проверки найти волшебный шар?

  4. Богатыри. 33 богатыря на пяти лодках приплыли к царю Салтану, а уплыли на шести (царь подарил). Докажите, что какие-то 2 богатыря и туда и обратно плыли вместе.

  5. Дороги. Министр хочет построить 6 новых городов и соединить каждые 2 из них дорогой. Начертите такую схему расположения городов и дорог, чтобы на ней было только 3 перекрестка и на каждом из них пересекалось ровно 2 дороги. Дороги не обязательно прямые.

  6. Делимость. На окружности отмечены 49 точек, пронумерованных в некотором порядке нечетными числами от 3 до 99. Если один номер делится на другой, то между точками с этими номерами проводится отрезок. Докажите, что найдутся два отрезка, которые пересекаются внутри окружности.

  7. Автобусы. Между городами A и B ездят автобусы с одинаковой постоянной скоростью. Автобус, выехавший из A в полдень, и автобус, выехавший из B в 15:00, встретились на расстоянии 500 км от A. Автобус, выехавший из A в 14:00, и автобус, выехавший из B в 11:00, встретились на расстоянии 300 км от A. На каком расстоянии от A встретятся автобусы, выехавшие из A и из B одновременно?

  8. Ребус. Что больше: ДВА × ШЕСТЬ или ДВАДЦАТЬ? Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные.

  9. Суммы. В каждую клетку прямоугольника $10 \times 19$ записали одно из чисел 0 или 1, после чего подсчитали суммы чисел в каждом столбце и в каждой строке. Какое наибольшее количество различных сумм могло получиться?

  10. Игра. Играют двое. Первый выписывает четырёхзначное число, а второй дописывает 4 цифры слева или 4 цифры справа так, чтобы получилось восьмизначное число. Второй побеждает, если итоговое число будет точным квадратом. Может ли первый ему помешать?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Веса.
    Решение: Пусть лодка — Л, мяч — М, кубик — К. Из условий:
    1) Л = М + 2К
    2) Л + К = 2М
    Подставим Л из первого уравнения во второе:
    М + 2К + К = 2М → М + 3К = 2М → 3К = М
    Подставим М = 3К в первое уравнение:
    Л = 3К + 2К = 5К
    Ответ: 5 кубиков.

  2. Лжецы.
    Решение: При первой рассадке каждый называет соседа лжецом → в каждой паре один рыцарь и один лжец. Всего 15 пар. После пересадки утверждение "сосед рыцарь" возможно только если оба лжецы или оба рыцари. Но количество пар рыцарь-рыцарь и лжец-лжец должно быть целым. Так как 30 учеников, количество пар каждого типа должно быть целым числом. Но 15 пар рыцарь-лжец нельзя перераспределить в пары одинаковых типов без изменения четности.
    Ответ: Нет, не могло.

  3. Шары.
    Решение: Разделим шары на группы: 3,3,1. Первая проверка: первые 3 шара. Если прибор указал на волшебный — он найден. Если нет, проверяем вторую группу из 3 шаров. Если указал — найден. Если в обеих проверках прибор не указал волшебный, он в оставшемся шаре. Третья проверка: проверяем одиночный шар.
    Ответ: Да, можно.

  4. Богатыри.
    Решение: По принципу Дирихле: при первом плавании минимум $\lceil \frac{33}{5} \rceil = 7$ богатырей в одной лодке. При втором — $\lceil \frac{33}{6} \rceil = 6$. Значит, хотя бы 7 - (6 - 1) = 2 богатыря плыли вместе в обоих случаях.
    Ответ: Доказано.

  5. Дороги.
    Решение: Расположим города в виде двух треугольников, пересекающихся тремя перекрестками. Соединим все города между собой так, чтобы пересекались только три пары дорог.
    Ответ: \includegraphics[scale=0.4]{scheme.png} (условное изображение).

  6. Делимость.
    Решение: Рассмотрим числа 3, 9, 15, ..., 99. Для 3 и 9: 3|9 → отрезок. Для 9 и 27: 9|27 → отрезок. Эти отрезки пересекаются внутри окружности, так как соответствуют вложенным делителям.
    Ответ: Доказано.

  7. Автобусы.
    Решение: Пусть скорость автобусов $v$, расстояние $S$. Из условий:
    1) $\frac{500}{v} = 3 + \frac{S-500}{v}$ → $S = 800$ км
    2) $\frac{300}{v} = 3 + \frac{S-300}{v}$ → подтверждает $S=800$
    При одновременном выезде: $t = \frac{S}{2v} = \frac{800}{2v}$. Расстояние от A: $vt = 400$ км.
    Ответ: 400 км.

  8. Ребус.
    Решение: Пусть ДВА = 102, ШЕСТЬ = 105236 (пример). Тогда 102 × 105236 = 10 734 072. ДВАДЦАТЬ = 20. Очевидно, произведение больше.
    Ответ: ДВА × ШЕСТЬ > ДВАДЦАТЬ.

  9. Суммы.
    Решение: Максимум сумм в строках: 0-10 (11 вариантов). В столбцах: 0-19 (20 вариантов). Общее количество: 11 + 20 = 31. Но некоторые суммы могут совпадать. Оптимально: 10+19=29.
    Ответ: 29.

  10. Игра.
    Решение: Первый может выбрать число, например, 9999. Второй должен добавить цифры слева или справа, чтобы получить квадрат. Но квадраты восьмизначных чисел лежат в интервале [3162²=9998244, 9999²=99980001]. Число 9999xxxx или xxxx9999 не попадает в этот диапазон как точный квадрат.
    Ответ: Да, может помешать.
Материалы школы Юайти