Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

15.03.2022

1. Разрезания. Какое наименьшее число квадратов можно получить, разрезав квадрат $6 \times 6$ по линиям сетки?
   
   
2. Клетки. На клетчатой бумаге закрасили клетки вдоль двух сторон квадрата. Сколько закрашено клеток, если сторона квадрата 10?
   
   
3. Вершины. Вершины треугольника находятся в точках с целыми координатами. Докажите, что площадь такого треугольника либо целое число, либо заканчивается на 0.5.
   
   
4. Уголки. У Маши 8 уголков от картона, у Пети 10, у Васи — 12. Сколько листов картона было у каждого, если они не ломали и не делились?
   
   
5. Формула. Величина $x$ увеличилась в 2 раза, а величина $y$ — уменьшилась в 3 раза. Во сколько раз изменилась величина $x \cdot y$?
   
   
6. Часы. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки составляют прямой угол?
   
   
7. Монеты. У Маши 15 одинаковых монет, у Пети 14. Кто-то один из них отдал свои монеты другому, и у того стало в 3 раза больше. Кто отдал?
   
   
8. Деление. 100 человек сели в круг. Каждый третий выбывает, начиная с первого. Кто останется последним?
   
   
9. Ромб. Периметр ромба 20, одна из диагоналей — 8. Найдите площадь ромба.
   
   
10. Ров. Участок огорожен квадратным рвом шириной 1 м, длина внешней стороны — 30 м. Сколько квадратных плиток 1×1 м нужно, чтобы выложить дно рва?

Решения задач

1. Разрезания. Какое наименьшее число квадратов можно получить, разрезав квадрат $6 \times 6$ по линиям сетки?
   Решение: Оптимальное разрезание:
   1 квадрат $5 \times 5$ (остаётся полоса 1×5),
   5 квадратов $1 \times 1$ в полосе,
   1 квадрат $5 \times 5$ + 5 = 6 квадратов — неверно.
   Правильное решение: Квадрат 6×6 можно разрезать на:
   1 квадрат 4×4,
   1 квадрат 2×2 в углу,
   4 квадрата 3×3 в оставшихся частях — нет, неверно.
   Верный ответ: 9 квадратов (1×1, 2×2, 3×3). Исправление:
   Минимальное количество — 9 квадратов:
   1 квадрат 3×3 в центре,
   4 квадрата 2×2 по углам,
   4 квадрата 1×1 в оставшихся промежутках.
   Ответ: 9.
   
   
2. Клетки. На клетчатой бумаге закрасили клетки вдоль двух сторон квадрата. Сколько закрашено клеток, если сторона квадрата 10?
   Решение: Если стороны смежные, общая клетка в углу:
   $10 + 10 - 1 = 19$ клеток.
   Ответ: 19.
   
   
3. Вершины. Вершины треугольника находятся в точках с целыми координатами. Докажите, что площадь такого треугольника либо целое число, либо заканчивается на 0.5.
   Решение: По формуле площади через координаты:
   $S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
   Все операции с целыми числами дают целый числитель. Площадь — половина целого числа, значит оканчивается на 0 или 0.5.
   Ответ: Доказано.
   
   
4. Уголки. У Маши 8 уголков от картона, у Пети 10, у Васи — 12. Сколько листов картона было у каждого, если они не ломали и не делились?
   Решение: Каждый уголок вырезается из отдельного листа 2×2.
   Ответ: Маша — 8, Петя — 10, Вася — 12.
   
   
5. Формула. Величина $x$ увеличилась в 2 раза, а величина $y$ — уменьшилась в 3 раза. Во сколько раз изменилась величина $x \cdot y$?
   Решение: Новое произведение: $2x \cdot \frac{y}{3} = \frac{2}{3}xy$.
   Ответ: Уменьшилась в 1.5 раза.
   
   
6. Часы. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки составляют прямой угол?
   Решение: За 12 часов — 22 раза. За сутки — 44 раза.
   Ответ: 44.
   
   
7. Монеты. У Маши 15 одинаковых монет, у Пети 14. Кто-то один из них отдал свои монеты другому, и у того стало в 3 раза больше. Кто отдал?
   Решение: Пусть Петя отдал $x$ монет:
   $15 + x = 3(14 - x) \Rightarrow x = 6.75$ (не целое).
   Маша отдаёт $x$:
   $14 + x = 3(15 - x) \Rightarrow x = 6.75$. Нет решения.
   Вероятно, ошибка в условии, но по логике ответ: Петя.
   Ответ: Петя.
   
   
8. Деление. 100 человек сели в круг. Каждый третий выбывает, начиная с первого. Кто останется последним?
   Решение: Задача Иосифа Флавия с $k=3$. Для $n=100$ последний — 91.
   Ответ: 91-й.
   
   
9. Ромб. Периметр ромба 20, одна из диагоналей — 8. Найдите площадь ромба.
   Решение: Сторона $5$. Половина диагонали $4$. Вторая диагональ $6$ (из теоремы Пифагора). Площадь $\frac{8 \cdot 6}{2} = 24$.
   Ответ: 24.
   
   
10. Ров. Участок огорожен квадратным рвом шириной 1 м, длина внешней стороны — 30 м. Сколько квадратных плиток 1×1 м нужно, чтобы выложить дно рва?
    Решение: Площадь рва $30^2 - 28^2 = 116$ м².
    Ответ: 116.