Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

14.06.2022

1. Роща. В сосновой роще сосен в 24 раза больше, чем других деревьев. Треть сосен срубили. Во сколько раз сосен теперь больше, чем других деревьев?
   
   
2. Поезд. Одновременно навстречу друг другу выехали из пункта A экспресс и из пункта B товарный поезд. Экспресс ехал в 2 раза быстрее товарного. До встречи поезда ехали 12 часов. Сколько часов экспресс ехал в пункт B после встречи с товарным поездом?
   
   
3. Метро. Пройдя неподвижный эскалатор, Дима насчитал 150 ступенек. Движущийся эскалатор каждую секунду выпускает 2 ступеньки. Дима шёл со скоростью 4 ступеньки в секунду вниз по ходу движения эскалатора. За сколько секунд Дима спустился вниз?
   
   
4. Ученик. Ученик за каждое верное решение получает 5 баллов, а за неверное — снимают 3 балла. Ученик записал решения 30 задач и заработал 70 баллов. Сколько задач он решил верно?
   
   
5. Брёвна. Несколько длинных брёвен распилили на 99 коротких, для чего сделали 55 распилов. Сколько брёвен было сначала? (Каждый раз распиливают одно бревно.)
   
   
6. Музей. После повышения цены билета в 2 раза количество посетителей музея уменьшилось в 3 раза. После повышения цены билет в музей приносит в день 378 тысяч рублей. Сколько тысяч рублей в день получал музей до повышения цены билета?
   
   
7. Сыр. 10 мышей съедают 200 г сыра за 20 минут. За сколько минут 5 мышей съедят 300 г сыра?
   
   
8. Длина. Куб с ребром 40 см сложили из кубиков с ребром 1 см. Внутри куба пустот нет. Во сколько раз площадь поверхности всех маленьких кубиков вместе больше площади поверхности большого куба?
   
   
9. Вспашка. Первый трактор вспахивает 10 га/ч, второй — 12 га/ч. Они работали одновременно, и второй трактор вспахал на 18 га больше первого. Сколько гектаров они вспахали вместе за время совместной работы?
   
   
10. Минимум. Замените звёздочки в выражении \texttt{*** + ****} (трёхзначное число и четырёхзначное) цифрами 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, так, чтобы сумма была наименьшей. В решении напишите два слагаемых, а в ответе — сумму этих чисел.
    
    
11. Объём. Прямоугольный бак длиной 24 м и шириной 6 м содержит 432 кубометра нефти. Какой высоты (в метрах) уровень нефти в баке?
    
    
12. Поворот. Полная окружность содержит 360 градусов. На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 2,5 часа?
    
    
13. Работа. Чтобы прополоть поле размером 50 м на 30 м нужно 10 работников. Сколько работников понадобится, чтобы прополоть поле размером 40 м на 120 м?
    
    
14. Периметр. Квадрат разрезали на два равных прямоугольника, периметр каждого из которых 48 см. На сколько сантиметров сумма периметров прямоугольников больше периметра квадрата?
    
    
15. Частное. Число $44\ldots4$ (всего написано 900 четвёрок) поделили на число $22\ldots2$ (всего написано 100 двоек). Сколько цифр получилось в частном?
    
    
16. Оценка. Контрольную работу называют сложной, если её не могут решить все самые слабые ученики и не могут решить все самые сильные ученики. Продолжите определение: «Тогда контрольная работа будет называться сложной, если $\ldots$».

Решения задач

1. Роща. Пусть количество других деревьев равно \( x \), тогда сосен было \( 24x \). После вырубки трети сосен осталось \( 24x - \frac{24x}{3} = 16x \). Отношение оставшихся сосен к другим деревьям: \( \frac{16x}{x} = 16 \).
   Ответ: 16.
   
   
2. Поезд. Пусть скорость товарного поезда \( v \), тогда скорость экспресса \( 2v \). До встречи они проехали \( 12(v + 2v) = 36v \). Оставшийся путь для экспресса равен пути товарного поезда до встречи: \( 12v \). Время движения экспресса: \( \frac{12v}{2v} = 6 \) часов.
   Ответ: 6.
   
   
3. Метро. Относительная скорость Димы относительно эскалатора: \( 4 + 2 = 6 \) ступенек/сек. Время спуска: \( \frac{150}{6} = 25 \) секунд.
   Ответ: 25.
   
   
4. Ученик. Пусть верно решено \( x \) задач. Уравнение: \( 5x - 3(30 - x) = 70 \). Решение: \( 8x = 160 \), \( x = 20 \).
   Ответ: 20.
   
   
5. Брёвна. Каждый распил увеличивает количество брёвен на 1. Изначально было \( N \) брёвен: \( N + 55 = 99 \), \( N = 44 \).
   Ответ: 44.
   
   
6. Музей. Пусть исходная цена \( p \), количество посетителей \( k \). После повышения: \( 2p \cdot \frac{k}{3} = 378 \). Исходная выручка: \( pk = \frac{378 \cdot 3}{2} = 567 \).
   Ответ: 567.
   
   
7. Сыр. Одна мышь съедает \( \frac{200}{10 \cdot 20} = 1 \) г/мин. Для 300 г: \( \frac{300}{5 \cdot 1} = 60 \) минут.
   Ответ: 60.
   
   
8. Длина. Площадь поверхности большого куба: \( 6 \cdot 40^2 = 9600 \) см². Маленьких кубиков: \( 40^3 \), их общая площадь: \( 40^3 \cdot 6 = 384000 \). Отношение: \( \frac{384000}{9600} = 40 \).
   Ответ: 40.
   
   
9. Вспашка. Разница скоростей: \( 12 - 10 = 2 \) га/ч. Время работы: \( \frac{18}{2} = 9 \) часов. Общая вспашка: \( (10 + 12) \cdot 9 = 198 \) га.
   Ответ: 198.
   
   
10. Минимум. Наименьшая сумма: \( 234 + 2345 = 2579 \). Использованы цифры 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5.
    Ответ: 2579.
    
    
11. Объём. Высота: \( \frac{432}{24 \cdot 6} = 3 \) метра.
    Ответ: 3.
    
    
12. Поворот. За 1 час стрелка поворачивается на \( 30^\circ \). За 2,5 часа: \( 30 \cdot 2,5 = 75^\circ \).
    Ответ: 75.
    
    
13. Работа. Площадь второго поля в \( \frac{40 \cdot 120}{50 \cdot 30} = 3,2 \) раза больше. Количество работников: \( 10 \cdot 3,2 = 32 \).
    Ответ: 32.
    
    
14. Периметр. Сторона квадрата \( a \). Периметр прямоугольника: \( 2(a + \frac{a}{2}) = 48 \), \( a = 16 \). Сумма периметров: \( 2 \cdot 48 = 96 \). Разница: \( 96 - 4 \cdot 16 = 32 \).
    Ответ: 32.
    
    
15. Частное. Число \( \frac{44\ldots4}{22\ldots2} = 2 \cdot 10^{800} + 2 \cdot 10^{700} + \ldots + 2 \). Количество цифр: 801.
    Ответ: 801.
    
    
16. Оценка. Контрольная будет сложной, если не все задачи решены самыми слабыми учениками и не все задачи решены самыми сильными учениками.
    Ответ: «Тогда контрольная работа будет называться сложной, если не все задачи решены самыми слабыми учениками и не все задачи решены самыми сильными учениками».