Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1-2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

1. Карта. Все расстояния на карте в 150 тысяч раз меньше, чем на земле. Дорога на карте имеет длину 30 см. Какой длины дорога на земле в километрах?
   
   
2. Возраст. Внуку 10 лет. Бабушка говорит: «Когда ты вырастешь до моего возраста, то мне будет 100 лет». Сколько лет бабушке сейчас?
   
   
3. Обмен. На базаре можно поменять копье на 4 топора, топор на 2 шкуры, шкуру на 4 копья. Сколько топоров можно обменять на одну шкуру?
   
   
4. Покупка. Витя купил 10 ручек и 14 карандашей. Ручка дороже карандаша на 20 руб. Витя заплатил 560 руб. Сколько стоит ручка и сколько стоит карандаш?
   
   
5. Аквариум. В аквариум 60×40 см налили 12 л воды. На какую высоту (в см) поднялась вода?
   
   
6. Кубик. Кубик с ребром 5 см сложили из кубиков по 1 см. Сколько из них не покрашены?
   
   
7. Время. Брат проходит 1 км за 8 мин, сестра — за 10 мин. Когда расстояние 100 м, брат пошел вслед. За сколько минут он догонит сестру?
   
   
8. Задание. На математику в 2 раза больше времени, чем на физику, и на физику в 2 раза больше, чем на английский. Всего — 2 ч 20 мин. Сколько минут на физику?
   
   
9. Площадь. Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со стороной 2 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в сантиметрах.
   
   
10. Шаги. Ваня и Петя идут рядом. Каждые 5 шагов Вани равны 7 Петиных. Ваня сделал на 1200 шагов меньше Пети. Сколько шагов сделал Ваня?
    
    
11. Коровы. 15 коров за 15 дней съедают 12 стогов. Сколько съедят 30 коров за 60 дней?
    
    
12. Подъезд. Вера живёт в 12-этажке в кв. №448. Все подъезды одинаковые, на каждом по 4 квартиры на этаж. В каком подъезде живёт Вера?
    
    
13. Поля. Чтобы засеять прямоугольное поле 120×100 м нужно 180 кг семян. Сколько нужно на 70×60 м?
    
    
14. Доли. В поход пошло четверть девочек и половина мальчиков. Каждой девочке дали 2 конфеты, каждому мальчику — 3. Всего выдали 190 конфет. Сколько всего детей?
    
    
15. Гномы. За круглым столом сидят 10 гномов. Каждый гном говорит: «Слева от меня сидит лжец». Сколько гномов обязательно лгут?
    
    
16. Уголок. Число 33...3 (всего 50 троек) поделили на 33...3 (всего 3 тройки). Сколько цифр в частном?

Решения задач

1. Карта. Все расстояния на карте в 150 тысяч раз меньше, чем на земле. Дорога на карте имеет длину 30 см. Какой длины дорога на земле в километрах?
   Решение: Масштаб 1:150 000 означает, что 1 см на карте равен 150 000 см = 1,5 км на местности. Тогда длина дороги:
   $30 \cdot 1,5 = 45$ км.
   Ответ: 45 км.
   
   
2. Возраст. Внуку 10 лет. Бабушка говорит: «Когда ты вырастешь до моего возраста, то мне будет 100 лет». Сколько лет бабушке сейчас?
   Решение: Пусть бабушке сейчас $x$ лет. Разница в возрасте: $x - 10$. Через $(x - 10)$ лет внуку будет $x$ лет, а бабушке:
   $x + (x - 10) = 2x - 10 = 100$
   $2x = 110 \Rightarrow x = 55$.
   Ответ: 55 лет.
   
   
3. Обмен. На базаре можно поменять копье на 4 топора, топор на 2 шкуры, шкуру на 4 копья. Сколько топоров можно обменять на одну шкуру?
   Решение: Из условий:
   1 копье = 4 топора, 1 топор = 2 шкуры, 1 шкура = 4 копья.
   Тогда 1 шкура = 4 копья = 4 $\cdot$ 4 топора = 16 топоров.
   Ответ: 16 топоров.
   
   
4. Покупка. Витя купил 10 ручек и 14 карандашей. Ручка дороже карандаша на 20 руб. Витя заплатил 560 руб. Сколько стоит ручка и сколько стоит карандаш?
   Решение: Пусть карандаш стоит $x$ руб., тогда ручка — $(x + 20)$ руб. Уравнение:
   $10(x + 20) + 14x = 560$
   $10x + 200 + 14x = 560 \Rightarrow 24x = 360 \Rightarrow x = 15$.
   Ручка: $15 + 20 = 35$ руб.
   Ответ: ручка 35 руб., карандаш 15 руб.
   
   
5. Аквариум. В аквариум 60×40 см налили 12 л воды. На какую высоту (в см) поднялась вода?
   Решение: Объём воды $12$ л $= 12000$ см³. Площадь основания: $60 \cdot 40 = 2400$ см². Высота:
   $h = \frac{12000}{2400} = 5$ см.
   Ответ: 5 см.
   
   
6. Кубик. Кубик с ребром 5 см сложили из кубиков по 1 см. Сколько из них не покрашены?
   Решение: Всего кубиков $5^3 = 125$. Внутренний куб (не покрашен) имеет ребро $5 - 2 = 3$ см. Количество внутренних: $3^3 = 27$.
   Ответ: 27 кубиков.
   
   
7. Время. Брат проходит 1 км за 8 мин, сестра — за 10 мин. Когда расстояние 100 м, брат пошел вслед. За сколько минут он догонит сестру?
   Решение: Скорость брата $\frac{1000}{8} = 125$ м/мин, сестры $\frac{1000}{10} = 100$ м/мин. Разность скоростей $25$ м/мин. Время догона:
   $\frac{100}{25} = 4$ мин.
   Ответ: 4 минуты.
   
   
8. Задание. На математику в 2 раза больше времени, чем на физику, и на физику в 2 раза больше, чем на английский. Всего — 2 ч 20 мин. Сколько минут на физику?
   Решение: Пусть на английский $x$ мин. Тогда физика $2x$, математика $4x$. Сумма:
   $x + 2x + 4x = 7x = 140$ мин $\Rightarrow x = 20$.
   Физика: $2x = 40$ мин.
   Ответ: 40 минут.
   
   
9. Площадь. Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со стороной 2 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в сантиметрах.
   Решение: Площадь квадрата $6 \cdot 6 = 36$ см². Сторона прямоугольника $2$ мм $= 0,2$ см. Вторая сторона:
   $\frac{36}{0,2} = 180$ см.
   Ответ: 180 см.
   
   
10. Шаги. Ваня и Петя идут рядом. Каждые 5 шагов Вани равны 7 Петиных. Ваня сделал на 1200 шагов меньше Пети. Сколько шагов сделал Ваня?
    Решение: Пусть Ваня сделал $5k$ шагов, тогда Петя $7k$ шагов. Разница:
    $7k - 5k = 2k = 1200 \Rightarrow k = 600$.
    Шаги Вани: $5k = 3000$.
    Ответ: 3000 шагов.
    
    
11. Коровы. 15 коров за 15 дней съедают 12 стогов. Сколько съедят 30 коров за 60 дней?
    Решение: Увеличиваем количество коров в 2 раза и дней в 4 раза:
    $12 \cdot 2 \cdot 4 = 96$ стогов.
    Ответ: 96 стогов.
    
    
12. Подъезд. Вера живёт в 12-этажке в кв. №448. Все подъезды одинаковые, на каждом по 4 квартиры на этаж. В каком подъезде живёт Вера?
    Решение: Квартир в подъезде: $12 \cdot 4 = 48$. Номер подъезда:
    $\left\lceil \frac{448}{48} \right\rceil = 10$.
    Ответ: 10-й подъезд.
    
    
13. Поля. Чтобы засеять прямоугольное поле 120×100 м нужно 180 кг семян. Сколько нужно на 70×60 м?
    Решение: Площадь первого поля $12000$ м², второго $4200$ м². Коэффициент:
    $\frac{4200}{12000} = 0,35$. Семян нужно: $180 \cdot 0,35 = 63$ кг.
    Ответ: 63 кг.
    
    
14. Доли. В поход пошло четверть девочек и половина мальчиков. Каждой девочке дали 2 конфеты, каждому мальчику — 3. Всего выдали 190 конфет. Сколько всего детей?
    Решение: Пусть девочек $4k$, мальчиков $2m$. В походе: $k$ девочек и $m$ мальчиков. Уравнение:
    $2k + 3m = 190$. Минимальные целые $k=20$, $m=50$. Всего детей: $4k + 2m = 180$.
    Ответ: 180 детей.
    
    
15. Гномы. За круглым столом сидят 10 гномов. Каждый гном говорит: «Слева от меня сидит лжец». Сколько гномов обязательно лгут?
    Решение: Если бы один гном говорил правду, то следующий должен лгать, что приводит к противоречию при чётном количестве. Все гномы лгут.
    Ответ: 10 гномов.
    
    
16. Уголок. Число 33...3 (всего 50 троек) поделили на 33...3 (всего 3 тройки). Сколько цифр в частном?
    Решение: Число $\underbrace{33\ldots3}_{50} = \frac{10^{50} - 1}{3}$. Делим на $333 = 3 \cdot 111$:
    $\frac{10^{50} - 1}{3} : 333 = \frac{10^{50} - 1}{999} = \underbrace{100\ldots1}_{48 \text{ цифр}}$.
    Ответ: 48 цифр.