8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1-1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2022
Печать
youit.school ©
  1. Уголки. Сережа разрезал квадрат 4х4 на полоски 1х4 и уголки из трёх клеток (оба вида фигур присутствовали). После этого Саша заменил одну из полосок 1х4 на квадрат 2х2. Всегда ли Сережа сможет собрать квадрат 4х4 из нового набора фигур? (Уголки можно поворачивать).
  2. Коробки. В ряд стоят 15 коробок с игрушками. Известно, что в любых четырёх коробках подряд в сумме 30 игрушек. Сколько игрушек в четвертой коробке, если всего во всех коробках 100 игрушек?
  3. Цифры. В записи числа 50 цифр, его умножили на 32 и получили число, в записи которого 51 цифра. Это число снова умножили на 32. Могло ли в результате получиться число, в записи которого 52 цифры?
  4. Лжецы. На острове живут 40 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый день один из жителей уезжает с острова и делает перед отъездом заявление: «После моего отъезда на острове останется поровну рыцарей и лжецов». Через 40 дней все уехали. Сколько лжецов было на острове изначально? (Неизвестно, есть ли на острове и те, и другие).
  5. Монеты. Среди трех внешне одинаковых монет одна фальшивая, которая легче настоящих. У Маши есть два весы, один из которых исправные, а другой сломанные (могут показывать правильный или неправильный результат), причем Маша не знает, какие весы сломаны. Как Маша за два взвешивания узнать хотя бы одну настоящую монету?
  6. Турнир. Девять человек провели турнир по настольному теннису в один круг (каждый сыграл с каждым по одному разу, ничьих не бывает). Оказалось, что среди любых трёх человек найдётся тот, кто выиграл у двух остальных. Докажите, что есть человек, который выиграл все партии в этом турнире.
  7. Точки. Будем говорить, что одна точка на плоскости видна из другой, если на отрезке между ними нет других точек. Можно ли на плоскости отметить 5 синих и 5 красных точек так, чтобы из каждой красной точки были видны ровно 3 синих, а из каждой синей точки были видны ровно 2 красных?
  8. Тройки. Натуральные числа от 1 до 11 расставили по кругу в каком-то порядке. Докажите, что найдутся 3 соседних числа с суммой не менее 19.
  9. Игра. В мешке лежат 2022 конфеты. Пупсень и Вупсень по очереди берут конфеты из мешка. Пупсень за один ход может взять 1 или 4 конфеты, а Вупсень — 1 или 3 конфеты. Начинает Пупсень, а проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
  10. Встречи. Вася, Петя и Саша находились в одной вершине правильного многоугольника (у которого все стороны равны). Они одновременно отправились на прогулку по периметру многоугольника, причём Вася пошёл в направлении, противоположном Пете и Саше. В какой-то момент Вася встретил Петю в некоторой вершине. Пройдя ещё десять сторон многоугольника, он встретил Сашу. Известно, что скорость Васи в 2 раза больше скорости Пети, а скорость Пети в 2 раза больше скорости Саши. Сколько вершин в многоугольнике?


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Уголки. Сережа разрезал квадрат 4х4 на полоски 1х4 и уголки из трёх клеток. После замены одной полоски на квадрат 2х2 общее количество клеток сохраняется, но структура фигур нарушается. Квадрат 2х2 невозможно разбить на исходные элементы, так как уголки занимают нечётные количества клеток, а полоска и квадрат — чётные. Количество свободных клеток после замены остаётся чётным, но квадрат 2х2 нарушает равномерность распределения. Собрать исходный квадрат невозможно, так как квадрат нарушает условия совместимости фигур.
    Ответ: Нет. Всегда нельзя.

  2. Коробки. Обозначим коробки как $a_1, a_2, ..., a_{15}$. По условию: \begin{gather*} a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = 30 \quad \forall i \leq 12 \end{gather*} Из равенства соседних четверок получим периодичность: $a_1 = a_5 = a_9 = a_{13}$, $a_2 = a_6 = a_{10} = a_{14}$, $a_3 = a_7 = a_{11} = a_{15}$, $a_4 = a_8 = a_{12}$. Сумма всех коробок: \begin{align*} 4a_1 + 4a_2 + 4a_3 + 3a_4 &= 100 \\ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 &= 30 \\ 3(a_1 + a_2 + a_3 + a_4) + a_4 &= 90 + a_4 = 100 \\ a_4 &= 10 \end{align*} Ответ: 10.

  3. Цифры. Пусть исходное число $N$ имеет 50 цифр и $N \approx 10^{49}$. Умножение на 32 даст $N \cdot 32 \approx 3,2 \cdot 10^{50}$ (51 цифра). Следующее умножение на 32 даст $3,2 \cdot 10^{50} \cdot 32 = 1,024 \cdot 10^{52}$, что содержит 52 цифры.
    Ответ: Да, могло.

  4. Лжецы. Каждый уезжающий говорит: "После меня рыцарей и лжецов поровну". Если бы это было верно для всех отъезжающих, число рыцарей и лжецов уменьшалось бы на единицу попеременно, что невозможно. Рассмотрим последнего человека: его заявление истинно (после него остаётся 0 человек — поровну), значит он рыцарь. Для сохранения условия на каждом шаге число лжецов должно быть вдвое больше рыцарей. Изначально было 20 рыцарей и 20 лжецов.
    Ответ: 20.

  5. Монеты. Взвесим монеты A и B на обоих весах:
    • Если оба веса показывают равенство — одна из них настоящая.
    • Если один весы показывает неравенство — настоящая та, которая перевесила на исправном весе.
    Если монеты A и B равны, любая из них настоящая либо C. Проверяем C с A на одном весе: если равны, C настоящая; иначе A или B.
    Ответ: Да, можно определить.

  6. Турнир. Пусть нет абсолютного победителя. Тогда найдутся игроки A, B, C, где A победил B, B победил C, C победил A. Но в тройке A, B, C никто не победил остальных, что противоречит условию. Значит, существует игрок, победивший всех.
    Ответ: Доказано.

  7. Точки. Предположим красные точки образуют правильный пятиугольник, синие — внутри. Из каждой красной видны 3 синих через несмежные рёбра. Но из синих точек видны 2 красных из-за симметрии. Конфигурация невозможна из-за пересечений.
    Ответ: Нет.

  8. Тройки. Среднее значение суммы трёх чисел: $\frac{66 \cdot 3}{11} = 18$. Если все суммы $\leq 18$, сумма трёх умножений чисел равна $66 \cdot 3 = 198$, что невозможно при максимальном числе 11.
    Ответ: Доказано.

  9. Игра. Анализ остатков по модулю 5: Пупсень выигрывает, приводя конфеты к кратным 5. При $2022 \equiv 2 \mod 5$ начинающий может взять 1 или 4, оставив противнику невыгодную позицию.
    Ответ: Вупсень.

  10. Встречи. Пусть $N$ — число вершин. После встречи с Петей Вася проходит $10$ сторон и встречает Сашу. За время между встречами Васины $10$ сторон соответствуют скорости $4v$, Сашина скорость $v$. Составляем уравнение:

    $\frac{N \cdot k + 10}{4v} = \frac{10}{v} \\$ $k = 2 \implies N = 30$

    Ответ: 30.
Материалы школы Юайти