Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

26.02.2021

1. Был 1 листок бумаги, его разрезали на 3 части, потом одну из получившихся частей — снова на 3 части и так далее. Так резали по одному листику 200 раз. Сколько частей получилось?
   
   
2. Допустим, за 150 руб. дают 3 евро, за 10 долларов дают 8 евро. Сколько долларов можно купить на 800 руб.?
   
   
3. Если работник выходил на работу, то получал за день 6 руб., а если не выходил, то за этот день он не получал денег, а получал штраф 4 руб. Через 30 дней оказалось, что он заработал ровно 20 руб. Сколько дней он выходил на работу?
   
   
4. На координатном луче отмечены точки A(48) и B(89). Точка C находится левее точки A на таком же расстоянии от нее, как точка B. Найдите координату точки C.
   
   
5. 18 карандашей и 9 ручек стоят столько же, сколько 6 карандашей и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   
   
6. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок на 45 рублей. На сколько дороже 8 кг груш, чем 8 кг яблок?
   
   
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, сумма которых будет наименьшей. Напишите сумму этих чисел.
   
   
8. Куб высотой 6 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две покрашенные грани? (Грань — это квадратная площадка.)
   
   
9. Куб высотой 9 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых покрашена ровно одна грань? (Грань — это квадратная площадка.)
   
   
10. Сколько квадратных плиток со стороной 16 см понадобится, чтобы выложить квадратную городскую площадь со стороной 80 м? (Плитки укладывают вплотную.)
    
    
11. Трое братьев делили поровну наследство — два одинаковых дома и 300 рублей. Сначала Иван и Петр взяли по дому, а Клим — 300 рублей, потом Иван и Петр дали Климу по 500 рублей. По деньгам получилось поровну. Сколько стоил один дом?
    
    
12. Одна сторона прямоугольника равна 25 см, а его площадь $3~\text{м}^2$. Найдите другую сторону. Ответ запишите в метрах.
    
    
13. 15 коров съедают стог сена за 12 дней. За сколько дней съедят стог сена 6 коров?
    
    
14. Сережа посчитал, что если он купит 8 бубликов, то у него останется 17 рублей, а на 11 бубликов ему не хватит 16 рублей. Сколько денег у него останется, если он купит как можно больше бубликов?
    
    
15. На карте с масштабом 1 см : 450000 см расстояние между деревнями 4 см. Сколько километров между этими деревнями на местности?
    
    
16. На эскалаторе 240 ступенек. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору со скоростью 6 ступенек в секунду и насчитал 180 ступенек. С какой скоростью идет эскалатор (ступенек в секунду)?
    
    

Решения задач

1. Был 1 листок бумаги, его разрезали на 3 части, потом одну из получившихся частей — снова на 3 части и так далее. Так резали по одному листику 200 раз. Сколько частей получилось?
   Решение: Каждый разрез увеличивает количество частей на 2. Изначально 1 часть. После 200 разрезов: $1 + 2 \cdot 200 = 401$.
   Ответ: 401.
2. Допустим, за 150 руб. дают 3 евро, за 10 долларов дают 8 евро. Сколько долларов можно купить на 800 руб.?
   Решение:
   150 руб. = 3 евро $\Rightarrow$ 1 евро = 50 руб.
   10 долларов = 8 евро $\Rightarrow$ 1 доллар = 0,8 евро.
   800 руб. = $\frac{800}{50} = 16$ евро.
   Долларов: $\frac{16}{0,8} = 20$.
   Ответ: 20.
3. Если работник выходил на работу, то получал за день 6 руб., а если не выходил, то за этот день он не получал денег, а получал штраф 4 руб. Через 30 дней оказалось, что он заработал ровно 20 руб. Сколько дней он выходил на работу?
   Решение: Пусть работал $x$ дней. Тогда:
   $6x - 4(30 - x) = 20$
   $6x - 120 + 4x = 20$
   $10x = 140$
   $x = 14$.
   Ответ: 14.
4. На координатном луче отмечены точки A(48) и B(89). Точка C находится левее точки A на таком же расстоянии от нее, как точка B. Найдите координату точки C.
   Решение: Расстояние AB: $89 - 48 = 41$.
   Координата C: $48 - 41 = 7$.
   Ответ: 7.
5. 18 карандашей и 9 ручек стоят столько же, сколько 6 карандашей и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   Решение:
   $18к + 9р = 6к + 12р$
   $12к = 3р$
   $р = 4к$.
   Ответ: 4.
6. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок на 45 рублей. На сколько дороже 8 кг груш, чем 8 кг яблок?
   Решение: Разница на 1 кг: $\frac{45}{10} = 4,5$ руб.
   На 8 кг: $8 \cdot 4,5 = 36$ руб.
   Ответ: 36.
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, сумма которых будет наименьшей. Напишите сумму этих чисел.
   Решение: Минимальная сумма достигается при числах 10234 и 56789.
   Сумма: $10234 + 56789 = 67023$.
   Ответ: 67023.
8. Куб высотой 6 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две покрашенные грани?
   Решение: Кубики с двумя гранями находятся на рёбрах (исключая углы).
   Каждое ребро содержит $6 - 2 = 4$ таких кубика.
   Всего рёбер: 12.
   Ответ: $12 \cdot 4 = 48$.
   Ответ: 48.
9. Куб высотой 9 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых покрашена ровно одна грань?
   Решение: Кубики с одной гранью находятся на гранях (исключая рёбра).
   На одной грани: $(9 - 2)^2 = 49$ кубиков.
   Всего граней: 6.
   Ответ: $6 \cdot 49 = 294$.
   Ответ: 294.
10. Сколько квадратных плиток со стороной 16 см понадобится, чтобы выложить квадратную городскую площадь со стороной 80 м?
    Решение: Сторона площади: $80$ м $= 8000$ см.
    Плиток в ряду: $\frac{8000}{16} = 500$.
    Всего плиток: $500 \cdot 500 = 250000$.
    Ответ: 250000.
11. Трое братьев делили поровну наследство — два одинаковых дома и 300 рублей. Сначала Иван и Петр взяли по дому, а Клим — 300 рублей, потом Иван и Петр дали Климу по 500 рублей. По деньгам получилось поровну. Сколько стоил один дом?
    Решение: Пусть дом стоит $x$ руб.
    Каждому причитается $\frac{2x + 300}{3}$.
    После передачи:
    $x - 500 = \frac{2x + 300}{3}$
    $3x - 1500 = 2x + 300$
    $x = 1800$.
    Ответ: 1800.
12. Одна сторона прямоугольника равна 25 см, а его площадь $3~\text{м}^2$. Найдите другую сторону. Ответ запишите в метрах.
    Решение: Площадь $3$ м² $= 30000$ см².
    Другая сторона: $\frac{30000}{25} = 1200$ см $= 12$ м.
    Ответ: 12.
13. 15 коров съедают стог сена за 12 дней. За сколько дней съедят стог сена 6 коров?
    Решение: Пропорция:
    $\frac{15 \cdot 12}{6} = 30$ дней.
    Ответ: 30.
14. Сережа посчитал, что если он купит 8 бубликов, то у него останется 17 рублей, а на 11 бубликов ему не хватит 16 рублей. Сколько денег у него останется, если он купит как можно больше бубликов?
    Решение: Пусть цена бублика $x$ руб., у Сережи $y$ руб.
    $\begin{cases} 8x + 17 \le y < 11x - 16 \end{cases}$
    Максимальное $k$: $k = \left\lfloor \frac{y}{x} \right\rfloor$.
    Решение: $x = 12$, $y = 113$.
    Останется: $113 - 9 \cdot 12 = 5$ руб.
    Ответ: 5.
15. На карте с масштабом 1 см : 450000 см расстояние между деревнями 4 см. Сколько километров между этими деревнями на местности?
    Решение: Масштаб: 1 см = 4,5 км.
    Расстояние: $4 \cdot 4,5 = 18$ км.
    Ответ: 18.
16. На эскалаторе 240 ступенек. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору со скоростью 6 ступенек в секунду и насчитал 180 ступенек. С какой скоростью идет эскалатор (ступенек в секунду)?
    Решение: Время спуска: $\frac{180}{6} = 30$ сек.
    Скорость эскалатора: $\frac{240 - 180}{30} = 2$ ступ/сек.
    Ответ: 2.