Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

1. Сундуки. По 11 сундукам разложено 18 монет. На каждом сундуке написано: «тут ровно две монеты». Известно, что среди этих надписей есть ровно 3 неверные. Сколько сундуков пусты?
2. Операции. На доске выписаны все числа от 1 до 2021. Каждую секунду с каждым числом проделывают операцию: если число не делится на 100, то из него вычитают 1, а если делится на 100, то его делят на 100. Найдите наибольшее среди чисел на доске через 1 минуту.
3. Судьи. Для вынесения приговора за круглым столом собрались 12 судей. Каждый судья предположил, что все, кто сидит не рядом с ним, вынесут вердикт «Не виновен». После голосования оказалось, что правы были только те судьи, которые вынесли вердикт «Виновен». Сколько судей вынесли вердикт «Виновен»?
4. Чай. На столе стоят 16 стаканов с чаем. Чай в них налит неравномерно. Ученику разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количество чая, перелив из одного стакана в другой. Помогите ему таким способом уравнять количество чая во всех стаканах.
5. Новенькие. В 8-А класс пришли новые ученики. Каждый мальчик по разу с интересом посмотрел на каждую новенькую девочку, а каждая из «стареньких» девочек по разу строго посмотрела на каждого из мальчиков. В итоге за урок был брошен 221 взгляд. Найдите двузначное число учеников, которые теперь учатся в 8-А классе.
6. Перекаты. На плоскости лежит картонный квадрат $ABCD$, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в исходное место на плоскости. Докажите, что он остался в прежнем положении (то есть все его вершины оказались на исходных местах).
7. Лодка. Лодка проплыла три одинаковых участка вниз по реке. Первый участок с мотором — за 8 минут, второй участок на резервном моторе — за 15 минут, третий участок без мотора — за 4 часа. Сколько времени занял бы весь путь, если бы оба мотора работали всё время? (Скорости, получаемые от моторов, складываются).
8. Космобой. Для игры в «Космический бой» необходимо разместить на квадратной клетчатой доске один крейсер размерами $2 \times 3$, одну летающую тарелку размерами $2 \times 2$, три звездолёта размерами $1 \times 3$ и четыре истребителя размерами $1 \times 2$ так, чтобы корабли не соприкасались даже углами. На какой наименьшей доске удастся разместить корабли для игры в «Космический бой»?
9. Игра. Круглое ожерелье состоит из 2021 прозрачной бусинки. Два игрока по очереди раскрашивают одну из прозрачных бусинок в один из двух цветов: первый красит в белый цвет, а второй — в чёрный. При этом соседние бусинки не могут быть покрашены в один цвет. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит при правильной игре?
10. Выборы. В выборах участвуют два кандидата и 9 избирателей. Кандидаты не голосуют, а избиратель голосует за того кандидата, кто даст ему больше монет (если дали поровну, то голосует за первого). Известно, что первый кандидат раздал всего 100 монет. Шпион сообщает второму кандидату, кому и сколько монет дал первый кандидат. Какое наименьшее число монет должен заранее заготовить второй кандидат, чтобы гарантировать себе победу?

Решения задач

1. Сундуки. По условию, 3 сундука содержат не 2 монеты. Остальные 8 сундуков содержат по 2 монеты, что даёт $8 \cdot 2 = 16$ монет. Всего монет 18, значит в трёх неверных сундуках $18 - 16 = 2$ монеты. Эти сундуки могут содержать либо 0, 1, 1 монет. Таким образом, пустым будет 1 сундук.
   Ответ: 1.
   
   
2. Операции. Наибольшее число через 60 секунд будет у числа, которое не делится на 100 и уменьшается на 1 каждую секунду. Максимальное исходное число — 2021. Через 60 секунд: $2021 - 60 = 1961$.
   Ответ: 1961.
   
   
3. Судьи. Каждый судья, сказавший «Виновен», предполагает, что все не соседи сказали «Не виновен». Правы только те, кто сказал «Виновен». Для выполнения условий необходимо, чтобы «Виновен» были расположены так, что их не соседи покрывают всех остальных. Оптимальное количество — 4 судьи, расположенные через равные промежутки.
   Ответ: 4.
   
   
4. Чай. Общее количество чая должно делиться на 16. Если это условие выполнено, можно последовательно уравнивать пары стаканов, сводя задачу к меньшему числу стаканов.
   Ответ: Да, можно уравнять.
   
   
5. Новенькие. Пусть $m$ — мальчики, $n$ — все девочки. Всего взглядов: $m \cdot n = 221$. Разложение 221: $13 \cdot 17$. Общее число учеников: $13 + 17 = 30$ (двузначное).
   Ответ: 30.
   
   
6. Перекаты. Каждое перекатывание меняет ориентацию квадрата. Чтобы вернуться в исходное положение, суммарный поворот должен быть кратен 360°, что возможно только при чётном числе перекатываний. Таким образом, ориентация сохраняется.
   Ответ: Квадрат остаётся в прежнем положении.
   
   
7. Лодка. Пусть $v$ — скорость течения. Из условий: \begin{align} S &= (u_1 + v) \cdot 8 = (u_2 + v) \cdot 15 = v \cdot 240, \\ u_1 &= 29v, \quad u_2 = 15v. \end{align} При работе обоих моторов скорость: $29v + 15v + v = 45v$. Время: $\frac{3 \cdot 240v}{45v} = 16$ минут.
   Ответ: 16 минут.
   
   
8. Космобой. Минимальный размер доски учитывает площадь кораблей и обязательные промежутки. Наименьшая возможная доска — $10 \times 10$.
   Ответ: $10 \times 10$.
   
   
9. Игра. При нечётном числе бусин первый игрок может использовать симметричную стратегию, занимая центральную бусину и зеркально отвечая на ходы второго.
   Ответ: Первый игрок.
   
   
10. Выборы. Второму кандидату необходимо перебить голоса у 5 избирателей. Наихудший случай: первый распределил 100 монет как $20, 20, 20, 20, 20, 0, 0, 0, 0$. Тогда второму нужно дать $21$ монету каждому из пяти, потратив $5 \cdot 21 = 105$.
    Ответ: 105.