Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

26.02.2021

1. В далеком городе 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения города состоит в браке?
2. Саша и Коля ходят в одну группу кружка по математике. У Коли одногруппников вчетверо больше, чем одногруппниц. А у Саши одногруппниц на 17 меньше, чем одногруппников. Кто Саша: девочка или мальчик?
3. Даны десять чисел, каждое меньше 91. Докажите, что среди них найдутся два числа a и b, такие что 2/3 ≤ a/b ≤ 3/2.
4. Назовем сладкий подарок хорошим, если в нем есть три разных конфеты. Какое наибольшее количество хороших сладких подарков можно собрать, имея 20 шоколадных конфет, 30 вафельных, 40 мармеладных и 50 карамелек?
5. Вася нашел такое натуральное число, что при увеличении его в три раза получится куб, при увеличении в пять раз — пятая степень какого-то числа, а при увеличении в семь раз — седьмая степень. Не ошибся ли Вася?
6. У Тоши есть кусок теста в виде квадрата. Он решил приготовить лазанью и разрезал тесто на 100 прямоугольных кусков. При этом он сделал девять вертикальных разрезов, параллельных одной стороне квадрата, и девять горизонтальных разрезов, параллельных другой стороне. Среди получившихся кусков Тоша нашёл ровно 9 квадратных. Докажите, что среди них найдутся два одинаковых.
7. Интроверт Иннокентий устроил тараканьи бега. У него есть две беговые дорожки и 9 тараканов, причем все тараканы бегают с разной скоростью. Иннокентий разделил всех тараканов на три команды и устроил соревнования между этими командами. По правилам каждый таракан из одной команды соревнуется с каждым тараканом из другой команды. Победитель из двух команд определялся по числу побед. Оказалось, что первая команда победила вторую, а вторая — третью. Могло ли оказаться так, что первая команда проиграла третьей?
8. Пират Сэм очень обрадовался, когда нашел клад из 40 одинаковых золотых слитков, но тут же расстроился, узнав, что среди них есть три поддельных, которые выглядят одинаково, но весят немного меньше. Сможет ли Сэм с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих слитков, чтобы отдать капитану Оторвиголове долг? Все поддельные слитки весят одинаково.

Решения задач

1. В далеком городе 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля населения города состоит в браке?
   Решение: Пусть количество мужчин \( M \), женщин \( W \). По условию: \[ \frac{2}{3}M = \frac{3}{5}W \implies \frac{M}{W} = \frac{9}{10} \] Общее население: \( M + W = 9k + 10k = 19k \). Количество женатых пар: \( \frac{2}{3}M = 6k \). Доля населения в браке: \[ \frac{6k \cdot 2}{19k} = \frac{12}{19} \] Ответ: \(\frac{12}{19}\).
   
   
2. Саша и Коля ходят в одну группу кружка по математике. У Коли одногруппников вчетверо больше, чем одногруппниц. А у Саши одногруппниц на 17 меньше, чем одногруппников. Кто Саша: девочка или мальчик?
   Решение: Пусть в группе \( M \) мальчиков и \( D \) девочек. Для Коли (мальчика): \[ M - 1 = 4D \] Для Саши (девочки): \[ M = (D - 1) + 17 \implies M = D + 16 \] Решая систему: \[ \begin{cases} M = 4D + 1 \\ M = D + 16 \end{cases} \implies 4D + 1 = D + 16 \implies D = 5, \quad M = 21 \] Ответ: Саша — девочка.
   
   
3. Даны десять чисел, каждое меньше 91. Докажите, что среди них найдутся два числа \( a \) и \( b \), такие что \( \frac{2}{3} \leq \frac{a}{b} \leq \frac{3}{2} \).
   Решение: Рассмотрим интервалы вида \( \left[\left(\frac{3}{2}\right)^k, \left(\frac{3}{2}\right)^{k+1}\right) \). Максимальное отношение чисел \( \frac{90}{1} = 90 \). Логарифмируя: \[ k_{\text{max}} = \left\lfloor \frac{\ln 90}{\ln \frac{3}{2}} \right\rfloor \approx 10 \] Всего 11 интервалов. По принципу Дирихле два числа попадут в один интервал, их отношение будет между \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{2} \). Ответ: Доказано.
   
   
4. Назовем сладкий подарок хорошим, если в нем есть три разных конфеты. Какое наибольшее количество хороших сладких подарков можно собрать, имея 20 шоколадных конфет, 30 вафельных, 40 мармеладных и 50 карамелек?
   Решение: Ограничивающий фактор — шоколадные конфеты (20 штук). Каждый подарок требует минимум одну конфету каждого из трёх видов. Максимальное количество подарков: \[ \min\left(20, 30, 40, 50\right) = 20 \] Однако можно комбинировать другие виды. Используя вафельные, мармеладные и карамельные: \[ \min\left(30, 40, 50\right) = 30 \] Итого: \( 20 + 30 = 50 \), но суммарно конфет: \[ 20 + 30 + 40 + 50 = 140 \implies \left\lfloor \frac{140}{3} \right\rfloor = 46 \] Ответ: 30.
   
   
5. Вася нашел такое натуральное число, что при увеличении его в три раза получится куб, при увеличении в пять раз — пятая степень какого-то числа, а при увеличении в семь раз — седьмая степень. Не ошибся ли Вася?
   Решение: Пусть число \( N = 3^a \cdot 5^b \cdot 7^c \). Условия: \[ \begin{cases} a + 1 \equiv 0 \pmod{3} \\ b \equiv 0 \pmod{3} \\ c \equiv 0 \pmod{3} \end{cases}, \quad \begin{cases} a \equiv 0 \pmod{5} \\ b + 1 \equiv 0 \pmod{5} \\ c \equiv 0 \pmod{5} \end{cases}, \quad \begin{cases} a \equiv 0 \pmod{7} \\ b \equiv 0 \pmod{7} \\ c + 1 \equiv 0 \pmod{7} \end{cases} \] Решая систему, находим \( a = 34 \), \( b = 20 \), \( c = 14 \). Число существует. Ответ: Вася не ошибся.
   
   
6. У Тоши есть кусок теста в виде квадрата. Он разрезал его на 100 прямоугольников, сделав 9 вертикальных и 9 горизонтальных разрезов. Среди кусков ровно 9 квадратных. Докажите, что среди них найдутся два одинаковых.
   Решение: Пусть размеры квадратов — \( a_1, a_2, \ldots, a_9 \). Сумма длин вертикальных и горизонтальных разрезов равна 10. Если все \( a_i \) различны, их минимальная сумма: \[ 1 + 2 + \ldots + 9 = 45 > 10 \] Противоречие. Значит, есть повторяющиеся размеры. Ответ: Доказано.
   
   
7. Интроверт Иннокентий устроил тараканьи бега. Могло ли оказаться, что первая команда проиграла третьей, если первая победила вторую, а вторая — третью?
   Решение: Да. Пример:
   • Команда A: тараканы 1, 6, 7 (скорости 1, 6, 7)
   • Команда B: тараканы 2, 3, 8 (скорости 2, 3, 8)
   • Команда C: тараканы 4, 5, 9 (скорости 4, 5, 9)
   A побеждает B (1 > 2, 3; 6 > 2, 3; 7 > 2, 3), B побеждает C (2, 3 > 4, 5; 8 > 4, 5, 9), C побеждает A (4, 5 6, 7). Ответ: Да.
   
   
8. Пират Сэм может ли с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих слитков?
   Решение: Да. Разделим слитки на три группы: 13, 13, 14. Взвесим 13 и13:
   • Если равны: поддельные в 14. Отбираем 26 слитков (13+13), где максимум 2 поддельных. Выбираем 16 из них.
   • Если одна легче: поддельные в ней. Отбираем 13 слитков из другой группы (все настоящие) + 3 из третьей. Итого 16.
   Ответ: Да.