Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

20.04.2021

1. Число. К четырёхзначному числу приписали такое же, получилось восьмизначное число. Во сколько раз второе число больше первого?
   
   
2. Счёт. Сколько существует пятизначных чисел?
   
   
3. Цена. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок на 45 рублей. На сколько дороже 6 кг груш, чем 6 кг яблок?
   
   
4. Скорость. За сколько секунд моторная лодка пройдёт по озеру 300 м, если её скорость 30 км/ч? (Ответ дайте в секундах.)
   
   
5. Бег. Чебурашка пробегает дистанцию за 5 минут, а Гена — за 4 минуты. Они выбегают одновременно. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
   
   
6. Этаж. Саша живёт в 20-этажном доме в квартире № 106, номера квартир в подъезде от 1 до 140. На всех этажах, включая 1-й, одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша?
   
   
7. Свитер. После повышения цен на 15% свитер стоит 1380 рублей. Сколько стоил свитер до повышения цен?
   
   
8. Поля. Чтобы засеять поле размерами 180 м на 100 м нужно 90 кг семян. Сколько понадобится семян (кг), чтобы засеять поле размерами 70 м на 60 м?
   
   
9. Варенье. Для приготовления варенья нужно взять 3 весовые части ягод, 4 части сахарного песка и 2 части воды. Требуется сделать 9 кг варенья. Сколько кг ягод надо взять?
   
   
10. Сумма. Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 по одному разу, составьте два четырёхзначных числа, сумма которых будет наименьшей. В ответе напишите сумму, в решении — эти два числа.
    
    
11. Краска. Для окраски всей поверхности кубика с ребром 1 см нужно 2 г краски. Сколько граммов краски понадобится для покраски кубика с ребром 10 см?
    
    
12. Плитки. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты уложили 900 квадратных плиток со стороной 10 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
    
    
13. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел: 12; 14; 20.
    
    
14. Проверка. 3 учителя за 4 часа проверяют 90 тетрадей. Сколько учителей смогут проверить за 3 часа 180 тетрадей?
    
    
15. Торт. Малыш съедает торт за 40 минут, а Карлсон — за 10 минут. За сколько минут они съедят торт вместе?
    
    
16. Конфеты. В коробке 50 конфет. Из них 30 — с орехами, 25 содержат карамель. 20 конфет из 10 — и с орехами, и с карамелью. Сколько конфет не содержат ни орехи, ни карамель?

Решения задач

1. Число. К четырёхзначному числу приписали такое же, получилось восьмизначное число. Во сколько раз второе число больше первого?
   Решение: Пусть исходное четырёхзначное число равно $N$. Приписывание такого же числа эквивалентно умножению на $10000 + 1 = 10001$.
   Ответ: 10001.
2. Счёт. Сколько существует пятизначных чисел?
   Решение: Первая цифра может быть от 1 до 9 (9 вариантов), остальные — от 0 до 9 (по 10 вариантов).
   Всего: $9 \cdot 10^4 = 90000$.
   Ответ: 90000.
3. Цена. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок на 45 рублей. На сколько дороже 6 кг груш, чем 6 кг яблок?
   Решение: Разница в стоимости 1 кг: $\frac{45}{10} = 4,5$ руб.
   Для 6 кг: $6 \cdot 4,5 = 27$ руб.
   Ответ: 27.
4. Скорость. За сколько секунд моторная лодка пройдёт по озеру 300 м, если её скорость 30 км/ч?
   Решение: Скорость в м/с: $\frac{30 \cdot 1000}{3600} = 8,\overline{3}$ м/с.
   Время: $\frac{300}{8,\overline{3}} \approx 36$ сек.
   Ответ: 36.
5. Бег. Чебурашка пробегает дистанцию за 5 минут, а Гена — за 4 минуты. Они выбегают одновременно. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
   Решение: За 4 минуты Чебурашка пробежит $\frac{4}{5}$ дистанции. Останется $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
   Ответ: $\frac{1}{5}$.
6. Этаж. Саша живёт в 20-этажном доме в квартире № 106, номера квартир в подъезде от 1 до 140. На всех этажах, включая 1-й, одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша?
   Решение: Квартир на этаже: $\frac{140}{20} = 7$.
   Номер этажа: $\left\lceil \frac{106}{7} \right\rceil = 16$.
   Ответ: 16.
7. Свитер. После повышения цен на 15% свитер стоит 1380 рублей. Сколько стоил свитер до повышения цен?
   Решение: Исходная цена: $\frac{1380}{1,15} = 1200$ руб.
   Ответ: 1200.
8. Поля. Чтобы засеять поле размерами 180 м на 100 м нужно 90 кг семян. Сколько понадобится семян (кг), чтобы засеять поле размерами 70 м на 60 м?
   Решение: Площадь первого поля: $180 \cdot 100 = 18000$ м².
   Расход на 1 м²: $\frac{90}{18000} = 0,005$ кг/м².
   Площадь второго поля: $70 \cdot 60 = 4200$ м².
   Семян: $4200 \cdot 0,005 = 21$ кг.
   Ответ: 21.
9. Варенье. Для приготовления варенья нужно взять 3 весовые части ягод, 4 части сахарного песка и 2 части воды. Требуется сделать 9 кг варенья. Сколько кг ягод надо взять?
   Решение: Всего частей: $3 + 4 + 2 = 9$.
   Масса одной части: $\frac{9}{9} = 1$ кг.
   Ягоды: $3 \cdot 1 = 3$ кг.
   Ответ: 3.
10. Сумма. Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 по одному разу, составьте два четырёхзначных числа, сумма которых будет наименьшей. В ответе напишите сумму, в решении — эти два числа.
    Решение: Наименьшие возможные числа: 1023 и 4567.
    Сумма: $1023 + 4567 = 5590$.
    Ответ: 5590.
11. Краска. Для окраски всей поверхности кубика с ребром 1 см нужно 2 г краски. Сколько граммов краски понадобится для покраски кубика с ребром 10 см?
    Решение: Площадь поверхности увеличивается в $10^2 = 100$ раз.
    Краски потребуется: $2 \cdot 100 = 200$ г.
    Ответ: 200.
12. Плитки. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты уложили 900 квадратных плиток со стороной 10 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
    Решение: Площадь пола: $900 \cdot (0,1)^2 = 9$ м².
    Сторона пола: $\sqrt{9} = 3$ м.
    Ответ: 3.
13. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел: 12; 14; 20.
    Решение: НОК(12, 14, 20) = НОК(2²·3, 2·7, 2²·5) = 2²·3·5·7 = 420.
    Ответ: 420.
14. Проверка. 3 учителя за 4 часа проверяют 90 тетрадей. Сколько учителей смогут проверить за 3 часа 180 тетрадей?
    Решение: Производительность одного учителя: $\frac{90}{3 \cdot 4} = 7,5$ тетрадей/час.
    Необходимое количество учителей: $\frac{180}{3 \cdot 7,5} = 8$.
    Ответ: 8.
15. Торт. Малыш съедает торт за 40 минут, а Карлсон — за 10 минут. За сколько минут они съедят торт вместе?
    Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{40} + \frac{1}{10} = \frac{1}{8}$ торта/мин.
    Время: $\frac{1}{\frac{1}{8}} = 8$ мин.
    Ответ: 8.
16. Конфеты. В коробке 50 конфет. Из них 30 — с орехами, 25 содержат карамель. 20 конфет из 10 — и с орехами, и с карамелью. Сколько конфет не содержат ни орехи, ни карамель?
    Решение: Только орехи: $30 - 10 = 20$. Только карамель: $25 - 10 = 15$.
    Всего с добавками: $20 + 15 + 10 = 45$.
    Без добавок: $50 - 45 = 5$.
    Ответ: 5.