Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

16.03.2021

1. Яблоки. За $1{,}2$ кг яблок заплатили 84 руб. Сколько рублей надо заплатить за 900 г таких же яблок?
2. Дробь. Приведите пример обыкновенной дроби, которая больше $\frac{6}{7}$ и при этом меньше $\frac{7}{8}$.
3. Бидон. Бидон, заполненный молоком на три четверти, весит $7{,}8$ кг. Бидон, заполненный молоком наполовину, весит $5{,}8$ кг. Сколько весит килограммов бидон без молока?
4. Торт. Малыш может съесть торт за 20 минут. За сколько минут 4 малыша съедят 3 торта?
5. Ходьба. Брат идет от дома до школы 30 минут, а сестра -- 40 минут. Брат вышел из дома на 2 минуты позже сестры. Через сколько минут он ее догонит?
6. Этаж. Саша живёт в 18-этажном доме в квартире № 75, номера квартир в подъезде от 1 до 144. На всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живет Саша?
7. Шаги. Мама и дочь идут рядом в школу. Пока мама делает 4 шага, дочь делает 5 шагов. Вместе они сделали 7200 шагов. Сколько шагов до школы сделала мама?
8. Делитель. На какое число нужно разделить 1000, чтобы в частном получилось 52, а в остатке 12?
9. Муравей. Муравей ползет вдоль линейки от деления 35 до деления 125. Возле какого деления он проползет две трети пути? Муравей -- точка.
10. Сумма. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте три числа: шестизначное, трехзначное и однозначное, чтобы сумма этих чисел была наибольшей. В ответе запишите сумму всех трёх чисел.
11. Краска. Для покраски поверхности кубика со стороной 1 см понадобилось $0{,}2$ г краски. Сколько краски понадобится для покраски кубика со стороной 5 см?
12. Плитки. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты уложили 3600 квадратных плиток со стороной 20 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
13. Мельница. Трое братьев делили поровну наследство -- дом, мельницу и 1000 руб. Сначала первый взял дом, второй -- мельницу, третий -- 1000 руб. Затем второй дал первому 100 руб., а третий дал первому 200 руб. По стоимости они поделили наследство поровну. Сколько рублей стоил дом?
14. Роботы. 3 робота за 3 дня собирают 12 компьютеров. Сколько нужно роботов, чтобы собрать 60 компьютеров за 9 дней?
15. Отряд. В отряде у полковника 5 майоров, у каждого майора -- 5 лейтенантов, у каждого лейтенанта -- 5 солдат. Сколько всего военных в этом отряде?
16. Булик. Ваня посчитал, что если он купит 6 бубликов, то у него останется 10 рублей, а на 10 бубликов ему не хватит 7 рублей. Какое наибольшее число бубликов сможет купить Ваня?

Решения задач

1. Яблоки. За 1{,}2 кг яблок заплатили 84 руб. Сколько рублей надо заплатить за 900 г таких же яблок?
   Решение:
   1{,}2 кг = 1200 г. Цена за 1 г: $\frac{84}{1200} = 0{,}07$ руб.
   Стоимость 900 г: $900 \cdot 0{,}07 = 63$ руб.
   Ответ: 63 руб.
2. Дробь. Приведите пример обыкновенной дроби, которая больше $\frac{6}{7}$ и при этом меньше $\frac{7}{8}$.
   Решение:
   Приведём дроби к общему знаменателю 112:
   $\frac{6}{7} = \frac{96}{112}$, $\frac{7}{8} = \frac{98}{112}$.
   Подходящая дробь: $\frac{97}{112}$.
   Ответ: $\frac{97}{112}$.
3. Бидон. Бидон, заполненный молоком на три четверти, весит 7{,}8 кг. Бидон, заполненный молоком наполовину, весит 5{,}8 кг. Сколько весит килограммов бидон без молока?
   Решение:
   Пусть масса бидона — $x$ кг, полного молока — $y$ кг.
   $\begin{cases} x + \frac{3}{4}y = 7{,}8 \\ x + \frac{1}{2}y = 5{,}8 \end{cases}$
   Вычитаем уравнения: $\frac{1}{4}y = 2 \Rightarrow y = 8$ кг.
   Подставляем: $x + 4 = 5{,}8 \Rightarrow x = 1{,}8$ кг.
   Ответ: 1{,}8 кг.
4. Торт. Малыш может съесть торт за 20 минут. За сколько минут 4 малыша съедят 3 торта?
   Решение:
   Производительность одного малыша: $\frac{1}{20}$ торта/мин.
   Четыре малыша: $\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ торта/мин.
   Время на 3 торта: $3 : \frac{1}{5} = 15$ мин.
   Ответ: 15 мин.
5. Ходьба. Брат идет от дома до школы 30 минут, а сестра — 40 минут. Брат вышел из дома на 2 минуты позже сестры. Через сколько минут он ее догонит?
   Решение:
   Скорость брата: $\frac{1}{30}$ пути/мин, сестры — $\frac{1}{40}$.
   За 2 минуты сестра прошла: $2 \cdot \frac{1}{40} = \frac{1}{20}$ пути.
   Разница скоростей: $\frac{1}{30} - \frac{1}{40} = \frac{1}{120}$.
   Время догона: $\frac{1}{20} : \frac{1}{120} = 6$ мин.
   Ответ: 6 мин.
6. Этаж. Саша живёт в 18-этажном доме в квартире № 75, номера квартир в подъезде от 1 до 144. На всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живет Саша?
   Решение:
   Квартир на этаж: $\frac{144}{18} = 8$.
   Номер этажа: $\frac{75}{8} = 9{,}375 \Rightarrow$ 10 этаж.
   Ответ: 10.
7. Шаги. Мама и дочь идут рядом в школу. Пока мама делает 4 шага, дочь делает 5 шагов. Вместе они сделали 7200 шагов. Сколько шагов до школы сделала мама?
   Решение:
   Соотношение шагов: 4:5. Всего частей: $4 + 5 = 9$.
   Шаги мамы: $\frac{4}{9} \cdot 7200 = 3200$.
   Ответ: 3200.
8. Делитель. На какое число нужно разделить 1000, чтобы в частном получилось 52, а в остатке 12?
   Решение:
   По формуле: $1000 = 52x + 12$.
   $52x = 988 \Rightarrow x = 19$.
   Ответ: 19.
9. Муравей. Муравей ползет вдоль линейки от деления 35 до деления 125. Возле какого деления он проползет две трети пути? Муравей — точка.
   Решение:
   Весь путь: $125 - 35 = 90$ делений.
   Две трети: $\frac{2}{3} \cdot 90 = 60$.
   Точка: $35 + 60 = 95$.
   Ответ: 95.
10. Сумма. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте три числа: шестизначное, трехзначное и однозначное, чтобы сумма этих чисел была наибольшей. В ответе запишите сумму всех трёх чисел.
    Решение:
    Максимальное шестизначное: 987654, трёхзначное: 321, однозначное: 0.
    Сумма: $987654 + 321 + 0 = 987975$.
    Ответ: 987975.
11. Краска. Для покраски поверхности кубика со стороной 1 см понадобилось 0{,}2 г краски. Сколько краски понадобится для покраски кубика со стороной 5 см?
    Решение:
    Площадь кубика 5 см: $6 \cdot 5^2 = 150$ см².
    Коэффициент увеличения: $5^2 = 25$.
    Краска: $0{,}2 \cdot 25 = 5$ г.
    Ответ: 5 г.
12. Плитки. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты уложили 3600 квадратных плиток со стороной 20 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
    Решение:
    Площадь плитки: $0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$ м².
    Общая площадь: $3600 \cdot 0{,}04 = 144$ м².
    Сторона пола: $\sqrt{144} = 12$ м.
    Ответ: 12 м.
13. Мельница. Трое братьев делили поровну наследство — дом, мельницу и 1000 руб. Сначала первый взял дом, второй — мельницу, третий — 1000 руб. Затем второй дал первому 100 руб., а третий дал первому 200 руб. По стоимости они поделили наследство поровну. Сколько рублей стоил дом?
    Решение:
    Пусть дом — $x$ руб., мельница — $y$ руб.
    Условия: $x + 100 = y - 100 = 1000 - 200$.
    $x + 100 = 800 \Rightarrow x = 700$.
    Ответ: 700 руб.
14. Роботы. 3 робота за 3 дня собирают 12 компьютеров. Сколько нужно роботов, чтобы собрать 60 компьютеров за 9 дней?
    Решение:
    Производительность: $\frac{12}{3 \cdot 3} = \frac{4}{3}$ комп./робота/день.
    Требуется: $\frac{60}{9 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{60}{12} = 5$ роботов.
    Ответ: 5.
15. Отряд. В отряде у полковника 5 майоров, у каждого майора — 5 лейтенантов, у каждого лейтенанта — 5 солдат. Сколько всего военных в этом отряде?
    Решение:
    Всего: $1 + 5 + 5 \cdot 5 + 5 \cdot 5 \cdot 5 = 1 + 5 + 25 + 125 = 156$.
    Ответ: 156.
16. Булик. Ваня посчитал, что если он купит 6 бубликов, то у него останется 10 рублей, а на 10 бубликов ему не хватит 7 рублей. Какое наибольшее число бубликов сможет купить Ваня?
    Решение:
    Пусть цена бублика — $x$ руб., у Вани — $y$ руб.
    $\begin{cases} y - 6x = 10 \\ 10x - y = 7 \end{cases} \Rightarrow 4x = 17 \Rightarrow x = 4{,}25$.
    Максимум: $\left\lfloor \frac{35{,}5}{4{,}25} \right\rfloor = 8$.
    Ответ: 8.