Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

08.04.2021

1. Книга. Мальчик прочитал от начала книги на 8 страниц меньше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц ему надо прочитать, чтобы ровно половина книги была прочитана?
   
   
2. Акции. У одного акционера 6 акций, у другого — 9. Вместе они получили прибыль 6000 руб. Сколько получил первый акционер?
   
   
3. Обмен. За 7 гитар дают 5 евро, за 3 ледаря дают 105 руб. Сколько рублей за евро?
   
   
4. Скорость. Теперь велос едет со скоростью 144 км/ч. Сколько метров он пробегает за секунду?
   
   
5. Ходьба. Брат идет от дома до школы 30 минут, а сестра — 40 минут. Брат вышел из дома позже сестры и догнал ее через 9 минут. На сколько минут позже сестры вышел брат из дома?
   
   
6. Этажи. Саша живет в 19-этажном доме в квартире № 106, номера этажей начинаются с 1, а подъезд с 1. На всех этажах (кроме 1-го) одинаковое число квартир. На каком этаже живет Саша?
   
   
7. Банк. Банк берет $20\%$ от суммы, которую выдает клиент в кредит. Сколько денег клиент получит, если ему выдали 6000 руб.?
   
   
8. Полки. Чтобы влезть под дверной косяк высотой 60 см, необходимо нагнуться на $45\%$. На сколько сантиметров нужно нагнуться?
   
   
9. Лестница. На сколько процентов угол между лестничным маршем и полом меньше прямого угла, если угол равен 60°?
   
   
10. Банка. В банке 4 л раствора соли концентрацией $15\%$. Сколько воды надо долить, чтобы концентрация уменьшилась до $12\%$?
    
    
11. Дроби. Найдите дробь, равную 5/7, у которой числитель и знаменатель натуральные числа и их сумма равна 36.
    
    
12. Делимость. Найдите наименьшее число, которое делится на 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
    
    
13. Сто. 10 коров съедают сто сен за 5 дней. За сколько дней 14 коров съедят сто сен?
    
    
14. Лестница. Набор ступенек (всех поровну) длился 30 минут длиной со скоростью 2 м/мин, потом сократили до 1 м/мин. Через сколько минут половина пути была пройдена?
    
    
15. Апельсины. Найдите площадь фигуры, составленной из 6 граней апельсина, если длина каждой грани по основанию 10 дм, 5 дм, 6 дм.

Решения задач

1. Книга. Мальчик прочитал от начала книги на 8 страниц меньше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц ему надо прочитать, чтобы ровно половина книги была прочитана?
   Решение: Пусть прочитано \(x\) страниц, тогда осталось \(x + 8\). Общее количество страниц: \(x + (x + 8) = 2x + 8\). Половина книги: \(\frac{2x + 8}{2} = x + 4\). Значит, нужно прочитать ещё \(4\) страницы.
   Ответ: 4.
   
   
2. Акции. У одного акционера 6 акций, у другого — 9. Вместе они получили прибыль 6000 руб. Сколько получил первый акционер?
   Решение: Общее количество акций: \(6 + 9 = 15\). Доля первого: \(\frac{6}{15} \cdot 6000 = 2400\) руб.
   Ответ: 2400 руб.
   
   
3. Обмен. За 7 гитар дают 5 евро, за 3 ледаря дают 105 руб. Сколько рублей за евро?
   Решение: \(3\) ледаря = \(105\) руб. \(\Rightarrow 1\) ледарь = \(35\) руб. \(7\) гитар = \(5\) евро. Предположим, гитара и ледарь равны по стоимости: \(7\) гитар = \(7 \cdot 35 = 245\) руб. Тогда \(5\) евро = \(245\) руб. \(\Rightarrow 1\) евро = \(49\) руб.
   Ответ: 49 руб.
   
   
4. Скорость. Теперь велосипед едет со скоростью 144 км/ч. Сколько метров он пробегает за секунду?
   Решение: \(144\) км/ч = \(\frac{144 \cdot 1000}{3600} = 40\) м/с.
   Ответ: 40 м/с.
   
   
5. Ходьба. Брат идет от дома до школы 30 минут, а сестра — 40 минут. Брат вышел из дома позже сестры и догнал ее через 9 минут. На сколько минут позже сестры вышел брат из дома?
   Решение: Пусть брат вышел на \(t\) минут позже. Скорость брата: \(\frac{1}{30}\) пути/мин, сестры: \(\frac{1}{40}\). За \(9\) минут брат прошёл \(\frac{9}{30}\), сестра за \(t + 9\) минут — \(\frac{t + 9}{40}\). Уравнение: \(\frac{9}{30} = \frac{t + 9}{40}\). Решение: \(t = 3\).
   Ответ: 3 минуты.
   
   
6. Этажи. Саша живет в 19-этажном доме в квартире № 106, номера этажей начинаются с 1, а подъезд с 1. На всех этажах (кроме 1-го) одинаковое число квартир. На каком этаже живет Саша?
   Решение: Пусть на этажах со 2 по 19 по \(k\) квартир. Если на первом этаже \(k\) квартир, то этаж Саши: \(\frac{106}{k}\). Подбор \(k = 6\): \(106 ÷ 6 \approx 17,67\) → этаж 18. Проверка: \(17 \cdot 6 = 102\), квартира 106 на 18 этаже.
   Ответ: 18.
   
   
7. Банк. Банк берет 20% от суммы, которую выдает клиент в кредит. Сколько денег клиент получит, если ему выдали 6000 руб.?
   Решение: Клиент получает \(80\%\): \(6000 \cdot 0,8 = 4800\) руб.
   Ответ: 4800 руб.
   
   
8. Полки. Чтобы влезть под дверной косяк высотой 60 см, необходимо нагнуться на 45\%. На сколько сантиметров нужно нагнуться?
   Решение: \(45\%\) от \(60\) см: \(0,45 \cdot 60 = 27\) см.
   Ответ: 27 см.
   
   
9. Лестница. На сколько процентов угол между лестничным маршем и полом меньше прямого угла, если угол равен 60°?
   Решение: Прямой угол \(90°\). Разница: \(90° - 60° = 30°\). В процентах: \(\frac{30}{90} \cdot 100% \approx 33,33\%\).
   Ответ: 33,33\%.
   
   
10. Банка. В банке 4 л раствора соли концентрацией 15\%. Сколько воды надо долить, чтобы концентрация уменьшилась до 12\%?
    Решение: Соль: \(4 \cdot 0,15 = 0,6\) л. Новый объём: \(\frac{0,6}{0,12} = 5\) л. Долить: \(5 - 4 = 1\) л.
    Ответ: 1 л.
    
    
11. Дроби. Найдите дробь, равную 5/7, у которой числитель и знаменатель натуральные числа и их сумма равна 36.
    Решение: Пусть дробь \(\frac{5k}{7k}\). Сумма: \(5k + 7k = 12k = 36 \Rightarrow k = 3\). Дробь: \(\frac{15}{21}\).
    Ответ: \(\frac{15}{21}\).
    
    
12. Делимость. Найдите наименьшее число, которое делится на 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
    Решение: НОК(2,3,4,5,6,7) = НОК(4,3,5,7) = \(4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420\).
    Ответ: 420.
    
    
13. Сто. 10 коров съедают сто сен за 5 дней. За сколько дней 14 коров съедят сто сен?
    Решение: Коровы и дни обратно пропорциональны: \(\frac{10 \cdot 5}{14} \approx 3,57\) дней.
    Ответ: \(\approx 3,57\) дней.
    
    
14. Лестница. Набор ступенек (всех поровну) длился 30 минут длиной со скоростью 2 м/мин, потом сократили до 1 м/мин. Через сколько минут половина пути была пройдена?
    Решение: Путь за первые 30 минут: \(30 \cdot 2 = 60\) м. Общий путь: \(60 + x\), где \(x\) — оставшийся путь. Половина: \(\frac{60 + x}{2}\). Условие: \(60 = \frac{60 + x}{2} \Rightarrow x = 60\). Время при скорости 1 м/мин: \(60\) минут. Общее время до половины: \(30\) минут.
    Ответ: 30 минут.
    
    
15. Апельсины. Найдите площадь фигуры, составленной из 6 граней апельсина, если длина каждой грани по основанию 10 дм, 5 дм, 6 дм.
    Решение: Предположим, грань — прямоугольник. Площадь одной грани: \(10 \cdot 5 = 50\) дм². Шести граней: \(6 \cdot 50 = 300\) дм².
    Ответ: 300 дм².