Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2000 год вариант 2

1. Был 1 листок бумаги, его разрезали на 3 части, потом одну из получившихся частей – снова на 3 части и так далее. Так резали по одному листку 200 раз. Сколько частей получилось?
2. Допустим, за 150 руб. дают 3 евро, за 10 долларов дают 8 евро. Сколько долларов можно купить на 800 руб.?
3. Если работник выходил на работу, то получал за день 6 руб., а если не выходил, то за этот день он не получал денег, а получал штраф 4 руб. Через 30 дней оказалось, что он заработал ровно 20 руб. Сколько дней он выходил на работу?
4. На координатном луче отмечены точки A(48) и B(89). Точка C находится левее точки A на таком же расстоянии от нее, как точка B. Найдите координату точки C.
5. Куб высотой 9 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых окрашена ровно одна грань? (Грань – это квадратная площадка)
6. Сколько квадратных плиток со стороной 16 см понадобится, чтобы выложить квадратную городскую площадь со стороной 80 м? (Плитки укладывают вплотную.)
7. Трое братьев делили поровну наследство – два одинаковых дома и 300 рублей. Сначала Иван и Пётр взяли по дому, а Клим – 300 рублей, потом Иван и Пётр дали Климу по 500 рублей. По деньгам получилось поровну. Сколько стоит один дом?
8. Одна сторона прямоугольника равна 25 см, а его площадь 3 м$^2$. Найдите другую сторону. Ответ запишите в метрах.
9. 15 коров съедают стог сена за 12 дней. За сколько дней съедят стог сена 6 коров?
10. Серёжа посчитал, что если он купит 8 бубликов, то у него останется 17 рублей, а на 11 бубликов ему не хватит 16 рублей. Сколько денег у него останется, если он купит как можно больше бубликов?
11. На карте с масштабом 1 см : 450000 см расстояние между деревнями 4 см. Сколько километров между этими деревнями на местности?
12. На эскалаторе 240 ступенек. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору со скоростью 6 ступенек в секунду и насчитал 180 ступенек. С какой скоростью идёт эскалатор (ступенек в секунду)?

Решения задач

1. Был 1 листок бумаги, его разрезали на 3 части, потом одну из получившихся частей – снова на 3 части и так далее. Так резали по одному листку 200 раз. Сколько частей получилось?
   Решение: При каждом разрезе количество частей увеличивается на 2. Изначально 1 часть. После 200 разрезов:
   $1 + 200 \cdot 2 = 401$ часть.
   Ответ: 401.
   
   
2. Допустим, за 150 руб. дают 3 евро, за 10 долларов дают 8 евро. Сколько долларов можно купить на 800 руб.?
   Решение:
   На 800 руб. можно купить $\frac{800}{150} \cdot 3 = 16$ евро.
   Затем $16$ евро конвертируем в доллары: $\frac{16}{8} \cdot 10 = 20$ долларов.
   Ответ: 20.
   
   
3. Если работник выходил на работу, то получал за день 6 руб., а если не выходил, то за этот день он не получал денег, а получал штраф 4 руб. Через 30 дней оказалось, что он заработал ровно 20 руб. Сколько дней он выходил на работу?
   Решение: Пусть рабочий вышел на работу $x$ дней. Тогда он не выходил $30 - x$ дней.
   Составим уравнение:
   $6x - 4(30 - x) = 20$
   $6x - 120 + 4x = 20 \quad \Rightarrow \quad 10x = 140 \quad \Rightarrow \quad x = 14$.
   Ответ: 14.
   
   
4. На координатном луче отмечены точки A(48) и B(89). Точка C находится левее точки A на таком же расстоянии от нее, как точка B. Найдите координату точки C.
   Решение: Расстояние между A и B: $89 - 48 = 41$.
   Тогда координата C: $48 - 41 = 7$.
   Ответ: 7.
   
   
5. Куб высотой 9 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых окрашена ровно одна грань?
   Решение: При распиле на 9 частей каждая сторона делится на 9 кубиков. Кубики с одной окрашенной гранью находятся на гранях, но не на рёбрах.
   На каждой грани таких кубиков: $(9 - 2) \cdot (9 - 2) = 49$.
   Всего граней 6: $49 \cdot 6 = 294$.
   Ответ: 294.
   
   
6. Сколько квадратных плиток со стороной 16 см понадобится, чтобы выложить квадратную городскую площадь со стороной 80 м?
   Решение: Площадь плитки $16$ см $= 0,16$ м.
   В одном ряду $\frac{80}{0,16} = 500$ плиток. Всего плиток $500 \cdot 500 = 250000$.
   Ответ: 250000.
   
   
7. Трое братьев делили поровну наследство – два одинаковых дома и 300 рублей. Сначала Иван и Пётр взяли по дому, а Клим – 300 рублей, потом Иван и Пётр дали Климу по 500 рублей. По деньгам получилось поровну. Сколько стоит один дом?
   Решение: Пусть дом стоит $x$ рублей. Каждому брату полагается $\frac{2x + 300}{3}$.
   Клим получил $300 + 500 + 500 = 1300$ рублей.
   $\frac{2x + 300}{3} = 1300 \quad \Rightarrow \quad 2x + 300 = 3900 \quad \Rightarrow \quad x = 1800$.
   Ответ: 1800.
   
   
8. Одна сторона прямоугольника равна 25 см, а его площадь 3 м$^2$. Найдите другую сторону. Ответ запишите в метрах.
   Решение: Переведем 25 см в метры: $25$ см $= 0,25$ м.
   Другая сторона: $\frac{3}{0,25} = 12$ м.
   Ответ: 12.
   
   
9. 15 коров съедают стог сена за 12 дней. За сколько дней съедят стог сена 6 коров?
   Решение: 15 коров — 12 дней.
   1 корова съедает за $15 \cdot 12 = 180$ дней.
   6 коров: $\frac{180}{6} = 30$ дней.
   Ответ: 30.
   
   
10. Серёжа посчитал, что если он купит 8 бубликов, то у него останется 17 рублей, а на 11 бубликов ему не хватит 16 рублей. Сколько денег у него останется, если он купит как можно больше бубликов?
    Решение: Пусть цена бублика $x$, денег $y$.
    Система: $\begin{cases} 8x + 17 = y \\ 11x = y + 16 \end{cases}$
    Вычитаем уравнения: $3x = 33 \quad \Rightarrow \quad x = 11$.
    Тогда $y = 8 \cdot 11 + 17 = 105$ руб.
    Максимальное количество бубликов: $105 \div 11 = 9$ (остаток $105 - 9 \cdot 11 = 6$).
    Ответ: 6.
    
    
11. На карте с масштабом 1 см : 450000 см расстояние между деревнями 4 см. Сколько километров между этими деревнями на местности?
    Решение: Масштаб: $1$ см $= 4,5$ км.
    Расстояние: $4 \cdot 4,5 = 18$ км.
    Ответ: 18.
    
    
12. На эскалаторе 240 ступенек. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору со скоростью 6 ступенек в секунду и насчитал 180 ступенек. С какой скоростью идёт эскалатор (ступенек в секунду)?
    Решение: Пусть скорость эскалатора $v$ ступ/с. Время движения: $\frac{180}{6} = 30$ сек.
    За это время эскалатор прошел $30v$ ступенек. Общее количество ступенек: $180 + 30v = 240 \quad \Rightarrow \quad v = 2$.
    Ответ: 2.