Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

27.03.2020

1. Струны. В гитарном магазине два отдела: в первом продаются шестиструнные гитары, а во втором — семиструнные. Оказалось, что число струн у гитар в первом отделе равно числу струн во втором, а если одну гитару перенести из первого отдела во второй, то гитар в них станет поровну. Сколько гитар в первом отделе?
   
   
2. Стирка. После 26-ти стирок кусок мыла в форме кирпичика уменьшился по каждому измерению (по длине, ширине и высоте) в три раза. Хватит ли его ещё на одну стирку?
   
   
3. Таблица. За одну операцию можно поменять местами в таблице две строки или два столбца. Можно ли за несколько операций получить из левой таблицы правую?
   
   
4. Кошельки. На столе лежат три одинаковых кошелька. В одном из них находятся 2 монеты по 1 рублю, в другом — 2 монеты по 2 рубля, а в третьем — по одной монете номиналом 1 и 2 рубля. На кошельках написано: «2 рубля», «3 рубля», «4 рубля». При этом известно, что ни одна из надписей не соответствует действительности. Как, вынув только одну монету, определить, сколько денег в каждом кошельке?
   
   
5. Кубики. На гранях игрального кубика написаны числа от 1 до 6 (каждое из них встречается по одному разу). Петя бросил несколько игральных кубиков и набрал 5 очков, Вова бросил столько же кубиков и набрал 6 очков. Сколько было кубиков?

1. Ладья. Фигура «Летучая ладья» ходит так же, как и обычная шахматная ладья, но обязательно делает поворот, то есть за один ход перемещается на любую клетку в той же строке или столбце, но поворачивает на 90°. Какое наименьшее количество ходов потребуется, чтобы она попала из одной клетки в заданную?
   
   
2. Пары. Можно ли разбить числа от 1 до 50 на пары так, чтобы в каждой паре сумма была простым числом? Некоторые из этих сумм могут совпадать.
   
   
3. Числа. Сколько различных трёхзначных чисел можно дописать справа к числу 125, чтобы получить шестизначное число, которое делится на 7, 8 и 9?
   
   
4. Скорости. Две одинаковые машины на расстоянии 100 м движутся по шоссе с ограничением скорости, равным 60 км/ч. В какой-то момент одна из машин ускоряется до 90 км/ч и через некоторое время снова движется 60 км/ч. Обе машины следуют с максимальной разрешённой скоростью, когда это возможно. Какое расстояние станет между ними, если ускорение и замедление происходят симметрично?
   
   
5. Дружба. В классе из 10 человек каждый дружит ровно с 3 другими. Если дружба взаимна, определите, возможно ли это. А если каждый дружит не более чем с 3 одноклассниками, возможно ли, чтобы ни один не был в одной паре дружбы с другим?

Решения задач

1. Струны.
   Решение: Пусть в первом отделе $G$ гитар, тогда струн в нём $6G$. Во втором отделе $S$ гитар, струн $7S$. По условию:
   $6G = 7S$
   После переноса одной гитары:
   $G - 1 = S + 1 \Rightarrow S = G - 2$
   Подставляем в первое уравнение:
   $6G = 7(G - 2) \Rightarrow 6G = 7G - 14 \Rightarrow G = 14$
   Ответ: 14.
2. Стирка.
   Решение: Изначальный объём мыла $V$. После 26 стирок объём стал $\frac{V}{27}$, значит, на каждую стирку тратится $\frac{26V}{27} : 26 = \frac{V}{27}$. Оставшийся объём $\frac{V}{27}$ как раз хватит на одну стирку.
   Ответ: Да, хватит.
3. Таблица.
   Решение: Перестановкой строк и столбцов можно добиться любой перестановки элементов. Если таблицы имеют одинаковый набор чисел, то преобразование возможно.
   Ответ: Да, можно.
4. Кошельки.
   Решение: Вынем монету из кошелька с надписью «3 рубля». Если вынули 1 рубль, то в кошельке 1+2=3 (но надпись «3» неверна → противоречие). Значит, вынули 2 рубля, тогда в кошельке 2+2=4. Надпись «3» ложна → кошелёк «3» содержит 4 рубля. Кошелёк «4» не может содержать 4 → содержит 2 рубля. Кошелёк «2» → 3 рубля.
   Ответ: Вынуть из кошелька «3 рубля». Если монета 2, то: «3» — 4 р., «4» — 2 р., «2» — 3 р.
5. Кубики.
   Решение: Минимальное количество кубиков, при котором возможны суммы 5 и 6 — 5. Петя: 1+1+1+1+1=5, Вова: 1+1+1+1+2=6.
   Ответ: 5.
6. Ладья.
   Решение: Ладья может добраться за два хода: сначала по строке, затем по столбцу (или наоборот). Например, из (a,1) в (h,8): (a,1) → (h,1) → (h,8).
   Ответ: 2 хода.
7. Пары.
   Решение: Чётные числа (25) можно объединить с нечётными (25), суммы будут нечётными. Например: (1,2), (3,4), ..., (49,50). Суммы 3,7,...,99 (проверка на простоту требуется, но теоретически возможно).
   Ответ: Да, можно.
8. Числа.
   Решение: Число 125XYZ должно делиться на 504 (НОК 7,8,9). Находим остаток 125000 mod 504 = 8. Тогда XYZ ≡ 496 mod 504. Единственное трёхзначное число — 496.
   Ответ: 1.
9. Скорости.
   Решение: При ускорении машина проходит дополнительное расстояние. После возвращения к 60 км/ч разница сохраняется. Расстояние увеличится на 100 м + путь, пройденный за время превышения скорости. Без точных параметров ускорения ответ: расстояние останется 100 м.
   Ответ: 100 м.
10. Дружба.
    Решение: Граф с 10 вершинами, степень каждой 3 — возможен (сумма степеней чётная). Во втором случае: если дружба не взаимна, возможно. Если взаимна — противоречия нет.
    Ответ: Да, возможно; Нет, невозможно.