Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2000 год вариант 1

1. Задумали число, умножили его на 6, затем прибавили 10, результат разделили на 5 и получили 44. Какое число задумали?
2. В коробе 100 шоколадных конфет. Из них 60 содержат карамель, 50 содержат кокос, а 20 - и то, и другое. Сколько конфет не содержат ни карамели, ни кокоса?
3. Веревку длиной 10,8 м разрезали на равные части длиной по 0,15 м. Сколько частей получилось?
4. Скорость лодки в стоячей воде 14 км/ч, а скорость реки 2 км/ч. Лодка проплыла 24 км по течению реки, а затем вернулась обратно. Сколько часов затратила лодка на весь путь?
5. 18 карандашей и 9 ручек стоят столько же, сколько 6 карандашей и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
6. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок на 45 рублей. На сколько дороже 8 кг груш, чем 8 кг яблок?
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, сумма которых будет наименьшей. Напишите сумму этих чисел.
8. Куб высотой 6 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две покрашенные грани? (Грань - это квадратная площадка)
9. Скорость велосипедиста 15 км/ч, за сколько секунд он проедет 150 м?
10. Вдоль шоссе стоят километровые столбы. Два автомобиля едут навстречу друг другу, один от столба № 15 со скоростью 40 км/ч, другой от столба № 114 со скоростью 50 км/ч. Возле столба с каким номером они встретятся? (Шириной столбов пренебрегаем.)
11. Полный бидон с молоком весит 8 кг, а тот же бидон, заполненный молоком наполовину, весит 4,8 кг. Сколько кг весит бидон без молока?
12. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м? (Плитки укладывают вплотную.)
13. Туристам в походе стали раздавать конфеты. Если раздать по 9 конфет, то 5 конфет не хватит, а если раздать по 8 конфет, то 5 останутся лишними. Сколько было туристов и конфет?
14. Трое братьев делили поровну наследство - дом и мельницу. Первый взял дом, второй взял мельницу, затем первый дал третьему 200 руб., а второй дал третьему 400 руб. По стоимости наследство поделили поровну. Сколько стоил дом?
15. 3 робота за 3 часа собирают 10 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 9 роботов за 9 часов?
16. Мама и сын идут рядом в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 4 шага. Сын прошел на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошел сын?

Решения задач

1. Задумали число, умножили его на 6, затем прибавили 10, результат разделили на 5 и получили 44. Какое число задумали?
   Решение: Обозначим задуманное число как $x$. Составим уравнение:
   $\frac{6x + 10}{5} = 44$
   $6x + 10 = 220$
   $6x = 210$
   $x = 35$
   Ответ: 35.
2. В коробе 100 шоколадных конфет. Из них 60 содержат карамель, 50 содержат кокос, а 20 — и то, и другое. Сколько конфет не содержат ни карамели, ни кокоса?
   Решение: По формуле включений-исключений:
   Количество конфет с карамелью или кокосом: $60 + 50 - 20 = 90$
   Без наполнителей: $100 - 90 = 10$
   Ответ: 10.
3. Веревку длиной 10,8 м разрезали на равные части длиной по 0,15 м. Сколько частей получилось?
   Решение: Разделим общую длину на длину одной части:
   $\frac{10,8}{0,15} = 72$
   Ответ: 72.
4. Скорость лодки в стоячей воде 14 км/ч, а скорость реки 2 км/ч. Лодка проплыла 24 км по течению реки, а затем вернулась обратно. Сколько часов затратила лодка на весь путь?
   Решение: Время по течению: $\frac{24}{14+2} = 1,5$ ч.
   Время против течения: $\frac{24}{14-2} = 2$ ч.
   Всего: $1,5 + 2 = 3,5$ ч.
   Ответ: 3,5.
5. 18 карандашей и 9 ручек стоят столько же, сколько 6 карандашей и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   Решение: Пусть цена карандаша — $k$, ручки — $r$. Составим уравнение: $18k + 9r = 6k + 12r$
   $12k = 3r \quad \Rightarrow \quad 4k = r$
   Ответ: 4.
6. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок на 45 рублей. На сколько дороже 8 кг груш, чем 8 кг яблок?
   Решение: Разница за 1 кг: $45 : 10 = 4,5$ руб
   Для 8 кг: $4,5 \cdot 8 = 36$ руб
   Ответ: На 36 рублей.
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, сумма которых будет наименьшей. Напишите сумму этих чисел.
   Решение: Наименьшие пятизначные числа: 10234 и 56789. Сумма:
   $10234 + 56789 = 67023$
   Ответ: 67023.
8. Куб высотой 6 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две покрашенные грани?
   Решение: Количество рёберных кубиков с двумя покрашенными гранями: 12 рёбер по $(6-2) = 4$ на каждое.
   $12 \cdot 4 = 48$
   Ответ: 48.
9. Скорость велосипедиста 15 км/ч, за сколько секунд он проедет 150 м?
   Решение: Скорость: $\frac{15000}{3600} \approx 4,1667$ м/с
   Время: $\frac{150}{4,1667} \approx 36$ сек
   Ответ: 36.
10. Вдоль шоссе стоят километровые столбы. Два автомобиля едут навстречу друг другу, один от столба №15 со скоростью 40 км/ч, другой от столба №114 со скоростью 50 км/ч. Возле столба с каким номером они встретятся?
    Решение: Расстояние между столбами: $114 - 15 = 99$ км.
    Время до встречи: $\frac{99}{40 + 50} = 1,1$ ч
    Путь первого автомобиля: $40 \cdot 1,1 = 44$ км
    Номер столба: $15 + 44 = 59$
    Ответ: 59.
11. Полный бидон с молоком весит 8 кг, а тот же бидон, заполненный молоком наполовину, весит 4,8 кг. Сколько кг весит бидон без молока?
    Решение: Пусть бидон — $x$, молоко — $y$.
    $x + y = 8$
    $x + 0,5y = 4,8$
    Вычитаем: $0,5y = 3,2 \quad \Rightarrow \quad y = 6,4$
    $x = 8 - 6,4 = 1,6$
    Ответ: 1,6.
12. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м?
    Решение: Площадь участка: $60 \times 60 = 3600 \text{ м}^2 = 36000000 \text{ см}^2$
    Площадь плитки: $20 \times 20 = 400 \text{ см}^2$
    Количество: $\frac{36000000}{400} = 90000$
    Ответ: 90000.
13. Туристам в походе стали раздавать конфеты. Если раздать по 9 конфет, то 5 конфет не хватит, а если раздать по 8 конфет, то 5 останутся лишними. Сколько было туристов и конфет?
    Решение: Пусть туристов — $x$, конфет — $y$.
    $\begin{cases} 9x = y + 5 \\ 8x = y - 5 \end{cases}$
    Вычитаем: $x = 10$
    $y = 8x + 5 = 85$
    Ответ: 10 туристов и 85 конфет.
14. Трое братьев делили поровну наследство — дом и мельницу. Первый взял дом, второй взял мельницу, затем первый дал третьему 200 руб, а второй дал третьему 400 руб. По стоимости наследство поделили поровну. Сколько стоил дом?
    Решение: Пусть дом — $D$, мельница — $M$. Каждому причитается $\frac{D + M}{3}$.
    Для первого: $D - 200 = \frac{D + M}{3}$
    Для второго: $M - 400 = \frac{D + M}{3}$
    Решаем систему:
    $3D - 600 = D + M \quad \Rightarrow \quad 2D - M = 600$
    $3M - 1200 = D + M \quad \Rightarrow \quad -D + 2M = 1200$
    Решая: $D = 1000$, $M = 1400$. Проверка:
    Каждому: $\frac{2400}{3} = 800$. Первый: $1000 - 200 = 800$, второй: $1400 - 400 = 1000$ → противоречие. Исправление:
    Правильное решение: $M -400 = \frac{D + M}{3}$ → $3M -1200 = D + M$ → $2M - D = 1200$. Из 2D - M =600 → D= (600 + M)/2. Подставляем: 2M - (600+M)/2 =1200 → M=1000, D=800.
    Ответ: 800.
15. 3 робота за 3 часа собирают 10 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 9 роботов за 9 часов?
    Решение: Производительность одного робота: $\frac{10}{3 \cdot 3}$ комп/час
    9 роботов за 9 часов: $\frac{10}{9} \cdot 9 \cdot 9 = 90$
    Ответ: 90.
16. Мама и сын идут рядом в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 4 шага. Сын прошел на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошел сын?
    Решение: Отношение шагов 4:3. Разница в 1 часть равна 300.
    Сын: $4 \cdot 300 = 1200$ шагов
    Ответ: 1200.