Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

14.04.2020

1. Петя закрыл на своей шахматной доске поле В7, а Вася на своей - поле Н2. У кого из мальиков больше способов замостить оставшуюся часть доски трехклеточными утолками без иропусков и наложений?
   
2. В корзине лежат 5 яблок. Известно, что любые 3 нз них в сумме весят больые 300 r , но меньше 600 r . Докажите, что одно пз яблок весит больше 100 r , но мение 200 r :
3. За круглым столом сият граждане няти разных страи (от одной страны может быть несколько представителей). Извстно, что для лобых двух страи (нз даных пяти) найдутся граждане этих стран, сидящие рядом. Какое наименьшее число людей может сидеть за столом?
4. Миша отиравился пешком по дороге из города в деревно. В $14: 00$, когда Миша был на расстоянии 1 км от города, его догнал велосниедит и подвез, высадив на расстояии 1 км от дерении, после чего Мина пришел в деревню в $16: 00$. Сколько времени займет у Миши обратный путь пешком из деревии в город, ссли известно, что на велосинеде сго всзи со скоростыо вдвое больней, чем он ходит пешком?
5. У нескольких разбойнков вместе 128 монет. Если у кого-то оказывается не меньше половины мопет, то остальные объедияюотся щротив него и восстанавливают справедивость: каждый забирает себе столько монет, сколько у него уже есть. Еели же у двоих по 64 монеты, то объедияяотся против лобого из них. Справедливость восстанавливалась 7 раз. Докажите, что в результате все монеты оказались у одного разбойника.

Решения задач

1. Петя закрыл поле В7, Вася — Н2. Угловые клетки (как Н2) позволяют использовать симметричные варианты замощения, тогда как центральные (В7) нарушают симметрию. При закрытии угловой клетки остается больше вариантов для укладки L-образных тримино.
   Ответ: У Васи больше способов.
2. Пусть все яблоки ≤100г. Тогда любые 3 весят ≤300г — противоречие. Пусть все ≥200г. Тогда любые 3 весят ≥600г — противоречие. Значит ∃ яблоко ∈ (100;200)г.
   Ответ: Доказано.
3. Минимальное число — 10. Рассадим по схеме: A-B-C-D-E-A-B-C-D-E. Каждая пара соседних стран (A-B, B-C и т.д.) будет представлена рядом сидящими. Для покрытия всех пар из 5 стран требуется минимум 10 человек.
   Ответ: 10.
4. Пусть скорость пешком — v км/ч. Расстояние между городом и деревней: S = 1 + v·t +1, где t — время движения на велосипеде. Велосипедист проехал 1 км до Миши за $\frac{1}{2v}$ ч, затем довез его до (S-1) км. Общее время: $\frac{1}{2v} + \frac{S-2}{2v} + \frac{1}{v} = 2$ ч. Решая, получаем S = 4 км. Обратный путь пешком займет $\frac{4}{v} = 4$ ч.
   Ответ: 4 часа.
5. После каждого восстановления максимальная доля монет у одного разбойника увеличивается. Первые 6 восстановлений концентрируют монеты до 64 у одного. 7-е восстановление против обладателя 64 монет приведет к передаче всех 128 монет одному разбойнику.
   Ответ: Доказано.