Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

08.05.2020

1. В вершинах треугольника зашнсаны чнсла 1,3 и 6 . Затем кажде нз чнсел одновременно заменили на сумму двух соседних (то есть вместо 1 стало 9 , вместо 3 стало 7 , а на месте 6 стало 4). Эту операцпо проделали еще некоторое колиество раз. Могла ли сумма получивиихся в итоге трех чисел оказаться равной 202000000 ?
2. Школьник бегает с учгтелем наперегонки, кружа вокруг стадиона. За первый час школьник обогнал учителя на три круга, носле чего увеличил скорость на 1 км $/ ч$, и за второй час обогнал учителя сще на пять кругов. Найдите дину круга.
3. Петя поделил свое лобимое натуральное число с остатком на 7,8 и 9 , после чего вычислил сумму трех остатков. Эта сумма оказалась равна 21. Докажите, что любимое число Пети больше 500.
4. На столе лежат 10 одннаковых на вид монет. Одна из них отличается по весу от остальных, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как за три взвешивания на чашечных весах определить ее и узнать, легче она или тяжелее настоящей монеты?
5. Для учёта посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель обязан занисать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске - сколько читателей оставалось в зале, когда он уходил. Докажите, что за день на обеих досках появятся одии и те же числа (возможно, в различном порядке).

Решения задач

1. В вершинах треугольника записаны числа 1, 3 и 6. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних (то есть вместо 1 стало 9, вместо 3 стало 7, а на месте 6 стало 4). Эту операцию проделали еще некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 202000000?
   Решение: При каждой операции сумма чисел удваивается. Исходная сумма: $1 + 3 + 6 = 10$. После $k$ операций сумма станет $10 \cdot 2^k$. Проверим, возможно ли равенство $10 \cdot 2^k = 202000000$. Разделив на 10, получим $2^k = 20200000$. Так как $2^{24} = 16777216$, а $2^{25} = 33554432$, число $20200000$ не является степенью двойки.
   Ответ: Нет, не могла.
2. Школьник бегает с учителем наперегонки, кружа вокруг стадиона. За первый час школьник обогнал учителя на три круга, после чего увеличил скорость на 1 км/ч, и за второй час обогнал учителя ещё на пять кругов. Найдите длину круга.
   Решение: Пусть $L$ — длина круга (км), $v$ и $u$ — скорости школьника и учителя. За первый час разность пройденных расстояний: $(v - u) = 3L$. После увеличения скорости: $(v + 1 - u) = 5L$. Вычитая уравнения:
   $(v + 1 - u) - (v - u) = 5L - 3L \implies 1 = 2L \implies L = 0,5$ км.
   Ответ: 0,5 км.
3. Петя поделил своё любимое натуральное число с остатком на 7, 8 и 9, после чего вычислил сумму трех остатков. Эта сумма оказалась равна 21. Докажите, что любимое число Пети больше 500.
   Решение: Пусть число $N$, остатки при делении на 7, 8, 9 равны $r_7$, $r_8$, $r_9$. Максимальные остатки: 6, 7, 8. Их сумма $6 + 7 + 8 = 21$, значит все остатки максимальны. Тогда:
   $N \equiv -1 \pmod{7}$, $N \equiv -1 \pmod{8}$, $N \equiv -1 \pmod{9}$.
   Следовательно, $N + 1$ делится на НОК(7, 8, 9) = 504. Минимальное $N = 504k - 1$. При $k = 1$: $N = 503 > 500$.
   Ответ: Доказано.
4. На столе лежат 10 одинаковых на вид монет. Одна из них отличается по весу от остальных, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как за три взвешивания на чашечных весах определить её и узнать, легче она или тяжелее настоящей монеты?
   Решение:
   1. Первое взвешивание: 3 vs 3. Если равны — фальшивая в оставшихся 4. Если нет — в группе с отклонением.
   2. Второе взвешивание: Для группы с отклонением сравнить 3 подозрительных с 3 настоящими. Определить группу и характер отклонения.
   3. Третье взвешивание: Сравнить 1 vs 1 из подозрительной группы. По результату определить фальшивую монету.
   Ответ: Метод описан выше.
5. Для учёта посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель обязан записать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске — сколько читателей оставалось в зале, когда он уходил. Докажите, что за день на обеих досках появятся одни и те же числа (возможно, в различном порядке).
   Решение: Каждое число $n$ на первой доске соответствует посетителю, который застал $n$ человек. При его уходе он записывает число $m = n - 1 + k$, где $k$ — количество вошедших после него. Сумма всех $n$ равна сумме всех $m$, так как каждый вход компенсируется выходом. Таким образом, множества чисел совпадают.
   Ответ: Доказано.