Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

1. Вычислите 333333 : 111.
2. Запишите в виде обыкновенной дроби: ( $1: 3$ ) : ( $1: 2$ ) (один числитель и один знаменатель).
3. Запишите в виде произведения простых чисел: 294.
4. Сколько сантиметров в 6 км?
5. Приведите к общему знаменателю: $\frac{1}{3}+8$.
6. Запишите в виде целой и дробной части: $\frac{111}{7}$.
7. За 1 доллар дают 40 руб., за 1 евро дают 50 руб. Сколько долларов дают за 1 евро? (С десятыми и сотыми).
8. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?
9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 35 и 77 .
10. Маше 12 лет, ее папе 60 лет. Маша говорит: «Брат старше меня на столько же лет, на сколько лет папа старше брата». Сколько лет брату? (Решение подбором не принимается).
11. Дама за 10 секунд проехала 200 м. Ее остановил полицейский за превышение скорости. Сколько километров в час она ехала?
12. Пакет молока стоил 12 руб., а потом вырос в цене до 15 руб. На сколько процентов выросла цена пакета?
13. В поход пошли 15 мальчиков и 10 девочек. Общий вес груза 200 кг. Рюкзак мальчика в 2 раза тяжелее рюкзака девочки. Найдите вес рюкзака девочки.
14. Чтобы покрасить все грани (поверхность) деревянного кубика высотой 1 см нужно 1 г краски. Сколько краски понадобится, чтобы покрасить со всех сторон деревянный куб высотой 2 см?
15. Волк увидел зайца на расстоянии 1 км и погнался за ним со скоростью 18 км/ч. Заяц убегал от волка со скоростью 14 км/ч. Через сколько минут волк догонит зайца?
16. На 34 рубля можно купить 10 карандашей и 6 ручек либо 2 карандаша и 8 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?

Решения задач

1. Вычислите 333333 : 111.
   Решение:
   $333333 : 111 = 3003$, так как $111 \cdot 3000 = 333000$ и $111 \cdot 3 = 333$, тогда $333000 + 333 = 333333$.
   Ответ: 3003.
2. Запишите в виде обыкновенной дроби: $(1 : 3) : (1 : 2)$.
   Решение:
   $(1/3) : (1/2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$.
   Ответ: $\frac{2}{3}$.
3. Запишите в виде произведения простых чисел: 294.
   Решение:
   $294 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2$.
   Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 7^2$.
4. Сколько сантиметров в 6 км?
   Решение:
   $1 \text{ км} = 100000 \text{ см}$, значит $6 \text{ км} = 6 \cdot 100000 = 600000 \text{ см}$.
   Ответ: 600000 см.
5. Приведите к общему знаменателю: $\frac{1}{3} + 8$.
   Решение:
   $8 = \frac{24}{3}$, тогда $\frac{1}{3} + \frac{24}{3} = \frac{25}{3}$.
   Ответ: $\frac{25}{3}$.
6. Запишите в виде целой и дробной части: $\frac{111}{7}$.
   Решение:
   $111 : 7 = 15$ (остаток 6), значит $\frac{111}{7} = 15\frac{6}{7}$.
   Ответ: $15\frac{6}{7}$.
7. За 1 доллар дают 40 руб., за 1 евро дают 50 руб. Сколько долларов дают за 1 евро?
   Решение:
   $1 \text{ евро} = 50 \text{ руб.} = \frac{50}{40} \text{ долл.} = 1,25 \text{ долл.}$.
   Ответ: 1,25.
8. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?
   Решение:
   Производительность одного робота: $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$ компьютера в час.
   $10$ роботов за $12$ часов: $10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{6} = 20$.
   Ответ: 20.
9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 35 и 77.
   Решение:
   НОК$(35, 77) = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$.
   Ответ: 385.
10. Маше 12 лет, ее папе 60 лет. Маша говорит: «Брат старше меня на столько же лет, на сколько лет папа старше брата». Сколько лет брату?
    Решение:
    Пусть брату $x$ лет. Тогда:
    $x - 12 = 60 - x \implies 2x = 72 \implies x = 36$.
    Ответ: 36.
11. Дама за 10 секунд проехала 200 м. Сколько километров в час она ехала?
    Решение:
    Скорость: $\frac{200}{10} = 20 \text{ м/с} = 20 \cdot 3,6 = 72 \text{ км/ч}$.
    Ответ: 72.
12. Пакет молока стоил 12 руб., а потом вырос в цене до 15 руб. На сколько процентов выросла цена?
    Решение:
    Рост цены: $\frac{15 - 12}{12} \cdot 100% = \frac{3}{12} \cdot 100% = 25\%$.
    Ответ: $25\%$.
13. В поход пошли 15 мальчиков и 10 девочек. Общий вес груза 200 кг. Рюкзак мальчика в 2 раза тяжелее рюкзака девочки. Найдите вес рюкзака девочки.
    Решение:
    Пусть вес рюкзака девочки $x$ кг. Тогда:
    $15 \cdot 2x + 10x = 200 \implies 40x = 200 \implies x = 5$.
    Ответ: 5 кг.
14. Чтобы покрасить куб высотой 1 см нужно 1 г краски. Сколько краски понадобится для куба высотой 2 см?
    Решение:
    Площадь поверхности куба 2 см: $6 \cdot (2 \cdot 2) = 24 \text{ см}^2$.
    Расход краски: $\frac{24}{6} = 4$ г.
    Ответ: 4 г.
15. Волк увидел зайца на расстоянии 1 км. Скорость волка 18 км/ч, зайца 14 км/ч. Через сколько минут волк догонит зайца?
    Решение:
    Скорость сближения: $18 - 14 = 4 \text{ км/ч}$.
    Время: $\frac{1}{4} \text{ ч} = 15$ минут.
    Ответ: 15.
16. На 34 рубля можно купить 10 карандашей и 6 ручек либо 2 карандаша и 8 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
    Решение:
    Система уравнений:
    $\begin{cases} 10k + 6r = 34 \\ 2k + 8r = 34 \end{cases}$
    Умножим второе уравнение на 5: $10k + 40r = 170$. Вычтем первое уравнение: $34r = 136 \implies r = 4$.
    Подставим $r = 4$ в первое уравнение: $10k + 24 = 34 \implies k = 1$.
    Отношение: $\frac{r}{k} = \frac{4}{1} = 4$.
    Ответ: 4.