Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

08.05.2020

1. Петя разрезал клетчатый прямоутольник на 4 полоски $1 \times 8,4$ нолоски $1 \times 6$ и квадрат $5 \times 5$. Найдите размеры исходного прямоугольника.
2. Два брата вместе съедают одну пиццу за 10 минут. При этом если разделить ее поровну между братьями, то время поедания увеличится на 5 минут. Во сколько раз один брат быстрее кушает, чем другой?
3. Сумма 11 различных натуральных чисел равна 71. Найдите, чему может быть равно среднее но величине число. Не забудьте обосновать, почему другшх вариантов нет.
4. Можно ли на гранях 8 единичных кубиков написать цифры 1,4 и 9 так, чтобы при любом складывании из них куба $2 \times 2 \times 2$ сумма чисел на гранях большого куба равнялась 112 ?
5. В комнате пять ламп. Саша сказал: «В этой комнате есть 2 включенные лампы». Сережа ему ответил: «Ты не правь И добавил: В этой комнате есть 2 выключенные лампы. Оказалось, что из трех сделанных утверждений только одно верное. Какое?

Решения задач

1. Петя разрезал клетчатый прямоугольник на 4 полоски $1 \times 8$, 4 полоски $1 \times 6$ и квадрат $5 \times 5$. Найдите размеры исходного прямоугольника.
   Решение: Найдем общую площадь всех фигур:
   $4 \cdot (1 \times 8) = 4 \cdot 8 = 32$,
   $4 \cdot (1 \times 6) = 4 \cdot 6 = 24$,
   $5 \times 5 = 25$.
   Суммарная площадь: $32 + 24 + 25 = 81$.
   Так как $81 = 9 \times 9$, исходный прямоугольник имеет размеры $9 \times 9$ клеток. Проверка: квадрат $5 \times 5$ можно разместить в центре, а полоски — вокруг него.
   Ответ: $9 \times 9$.
   
   
2. Два брата вместе съедают одну пиццу за 10 минут. При этом если разделить ее поровну между братьями, то время поедания увеличится на 5 минут. Во сколько раз один брат быстрее кушает, чем другой?
   Решение: Пусть скорость первого брата — $x$ пицц/мин, второго — $y$ пицц/мин. Тогда:
   $x + y = \frac{1}{10}$ (совместная скорость).
   При разделении пиццы пополам время определяется более медленным братом:
   $\max\left(\frac{0.5}{x}, \frac{0.5}{y}\right) = 15$ мин.
   Предположим, что $\frac{0.5}{x} = 15$ (первый медленнее). Тогда $x = \frac{0.5}{15} = \frac{1}{30}$.
   Из первого уравнения: $y = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}$.
   Отношение скоростей: $\frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{30}} = 2$.
   Ответ: в 2 раза.
   
   
3. Сумма 11 различных натуральных чисел равна 71. Найдите, чему может быть равно среднее по величине число. Обоснование.
   Решение: Минимальная сумма 11 различных чисел: $1+2+3+\dots+11 = 66$. Недостающие $71 - 66 = 5$ распределим, увеличивая последние числа. Например, замена 11 на 16 дает последовательность: $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,16$. Среднее (шестое) число — $6$. Любое другое распределение $5$ приведет к увеличению шестого числа, что нарушит порядок или уникальность.
   Ответ: 6.
   
   
4. Можно ли на гранях 8 единичных кубиков написать цифры 1,4 и 9 так, чтобы при любом складывании из них куба $2 \times 2 \times 2$ сумма чисел на гранях большого куба равнялась 112?
   Решение: Сумма на внешних гранях куба $2 \times 2 \times 2$ равна $112$. Каждая внешняя грань состоит из 4 кубиков, всего $6 \cdot 4 = 24$ грани. Сумма всех внешних граней: $24 \cdot S_{\text{грань}} = 112 \Rightarrow S_{\text{грань}} = \frac{112}{24} \approx 4.666$, что невозможно, так как грани кубиков имеют целые значения (1,4,9).
   Ответ: Нет.
   
   
5. В комнате пять ламп. Саша сказал: «В этой комнате есть 2 включенные лампы». Сережа ответил: «Ты не прав» и добавил: «В этой комнате есть 2 выключенные лампы». Оказалось, что из трех утверждений только одно верное. Какое?
   Решение: Пусть $k$ — количество включенных ламп. Возможные случаи:
   - Если $k=2$: верно утверждение Саши, оба утверждения Сережи ложны. Условие выполняется.
   - Если $k=3$: оба утверждения Сережи верны, что противоречит условию.
   - При других $k$ верно только утверждение Сережи «Саша не прав». Однако это требует, чтобы $k \neq 2$ и $5 - k \neq 2$, что возможно при $k=1,4,5,0$. Но в этих случаях утверждение Сережи о двух выключенных лампах ложно.
   Единственный случай с одним верным утверждением: $k=2$ (верно утверждение Саши).
   Ответ: Верно утверждение Саши.