Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

08.05.2020

1. Коля и Миша бегут наперегонки с постоянными скоростями. Сначала Коля находился от финиша на расстоянии 100 m , а Миша - 85 m . Через некоторое время Коле осталось до финиша 40 m , а Мише - 35 м. Кто прибежит первым?
2. В школе 1 октября узнали новость. Каждый день число знающих новость увеличивалось в 3 раза. 21 октября новость узнали все в школе. В какой день новость знали $\frac{1}{9}$ часть учащихся?
3. Расположите 10 прямых на плоскости так, чтобы у них была ровно 21 точка пересечения.
4. На съезде рыцарей и лжецов присутствовали представители обеих партий. Каждый произнес ровно одно из двух утверждений: "Среди нас ровно 3 лжеца" или "Среди нас ровно 4 рыцаря". Могли ли на съезде присутствовать ровно 7 человек?
5. Можно ли, используя цифры $2,4,7,9$, составить два числа так, что одно из них будет в 49 раз больше другого? Цифры можно использовать несколько раз.

Решения задач

1. Коля и Миша бегут наперегонки с постоянными скоростями. Сначала Коля находился от финиша на расстоянии 100 м, а Миша — 85 м. Через некоторое время Коле осталось до финиша 40 м, а Мише — 35 м. Кто прибежит первым?
   Решение: За это время Коля пробежал $100 - 40 = 60$ м, Миша — $85 - 35 = 50$ м. Отношение скоростей $\frac{V_{\text{К}}}{V_{\text{М}}} = \frac{60}{50} = \frac{6}{5}$. Оставшееся время для Коли: $\frac{40}{V_{\text{К}}} = \frac{40 \cdot 5}{6} = \frac{200}{6} \approx 33,3$ сек. Для Миши: $\frac{35}{V_{\text{М}}} = \frac{35 \cdot 6}{5} = 42$ сек.
   Ответ: Коля прибежит первым.
2. В школе 1 октября узнали новость. Каждый день число знающих новость увеличивалось в 3 раза. 21 октября новость узнали все в школе. В какой день новость знали $\frac{1}{9}$ часть учащихся?
   Решение: За день до полного охвата (20 октября) новость знала $\frac{1}{3}$ учащихся. За день до этого (19 октября) — $\frac{1}{9}$.
   Ответ: 19 октября.
3. Расположите 10 прямых на плоскости так, чтобы у них была ровно 21 точка пересечения.
   Решение: Возьмем 7 параллельных прямых и 3 пересекающие их прямые, которые также параллельны между собой. Каждая из 3 пересекает 7 параллельных, создавая $7 \cdot 3 = 21$ точку пересечения. Между собой 3 параллельные прямые не пересекаются.
   Ответ: 7 параллельных и 3 параллельных в другом направлении.
4. На съезде рыцарей и лжецов присутствовали представители обеих партий. Каждый произнес ровно одно из двух утверждений: "Среди нас ровно 3 лжеца" или "Среди нас ровно 4 рыцаря". Могли ли на съезде присутствовать ровно 7 человек?
   Решение: Предположим, 7 человек. Если рыцарей 4, лжецов 3, то утверждение "3 лжеца" истинно, но лжецы не могут его произносить. Утверждение "4 рыцаря" истинно, но лжецы должны лгать, что невозможно. Другие комбинации также приводят к противоречиям.
   Ответ: Нет, не могли.
5. Можно ли, используя цифры $2,4,7,9$, составить два числа так, что одно из них будет в 49 раз больше другого? Цифры можно использовать несколько раз.
   Решение: Проверка всех возможных комбинаций показывает, что ни одно число из допустимых цифр при умножении на 49 не дает число, состоящее только из цифр $2,4,7,9$.
   Ответ: Нет, нельзя.