Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2017 год вариант 2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2017 год

На 90 минут

1. Вычислите $333333: 111 .$
2. Запишите в виде обыкновенной дроби: (1:3) : (1 : 2) (один числитель и один знаменатель).
3. Запишите в виде произведения простых чисел: $294 .$
4. Сколько сантиметров в 6 км?
5. Приведите к общему знаменателю: $\frac{1}{3}+8$.
6. Запишите в виде целой и дробной части: $\frac{111}{7}$.
7. За 1 доллар дают 40 руб., за 1 евро дают 50 руб. Сколько долларов дают за 1 евро? (C десятыми и сотыми).
8. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?
9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 35 и 77.
10. Маше 12 лет, ее папе 60 лет. Маша говорит: «Брат старше меня на столько же лет, на сколько лет папа старше брата». Сколько лет брату? (Решение подбором не принимается).
11. Дама за 10 секунд проехала 200 м. Ее остановил полицейский за превышение скорости. Сколько километров в час она ехала?
12. Пакет молока стоил 12 руб., а потом вырос в цене до 15 руб. На сколько процентов выросла цена пакета?
13. В поход пошли 15 мальчиков и 10 девочек. Общий вес груза 200 кг. Рюкзак мальчика в 2 раза тяжелее рюкзака девочки. Найдите вес рюкзака девочки.
14. Чтобы покрасить все грани (поверхность) деревянного кубика высотой 1 см нужно 1 г краски. Сколько краски понадобится, чтобы покрасить со всех сторон деревянный куб высотой 2 см?
15. Волк увидел зайца на расстоянии 1 км и погнался за ним со скоростью 18 км/ч. Заяц убегал от волка со скоростью 14 км/ч. Через сколько минут волк догонит зайца?
16. На 34 рубля можно купить 10 карандашей и 6 ручек либо 2 карандаша и 8 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?

Решения задач

1. Вычислите $333333: 111 .$
   Решение:
   $333333 : 111 = 333333 \div 111 = 3003$
   Ответ: 3003. (В ответах указано 1001, возможно, опечатка в условии задачи)
2. Запишите в виде обыкновенной дроби: $(1:3) : (1 : 2)$.
   Решение:
   $(1/3) : (1/2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$
   Ответ: $\frac{2}{3}$.
3. Запишите в виде произведения простых чисел: $294 .$
   Решение:
   $294 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
   Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$.
4. Сколько сантиметров в 6 км?
   Решение:
   $6 \text{ км} = 6 \cdot 1000 \text{ м} = 6000 \text{ м} = 6000 \cdot 100 \text{ см} = 600000 \text{ см}$
   Ответ: 600000 см.
5. Приведите к общему знаменателю: $\frac{1}{3}+8$.
   Решение:
   $8 + \frac{1}{3} = \frac{24}{3} + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$
   Ответ: $\frac{25}{3}$.
6. Запишите в виде целой и дробной части: $\frac{111}{7}$.
   Решение:
   $111 \div 7 = 15$ с остатком $6$, поэтому $\frac{111}{7} = 15 + \frac{6}{7}$
   Ответ: $15\frac{6}{7}$.
7. За 1 доллар дают 40 руб., за 1 евро дают 50 руб. Сколько долларов дают за 1 евро?
   Решение:
   $50 \text{ руб.} = \frac{50}{40} \text{ долл.} = 1,25 \text{ долл.}$
   Ответ: 1,25.
8. 2 робота за 3 часа собирают 1 компьютер. Сколько компьютеров соберут 10 роботов за 12 часов?
   Решение:
   Производительность: $1$ компьютер за $2 \cdot 3 = 6$ робото-часов.
   $10$ роботов за $12$ часов: $10 \cdot 12 = 120$ робото-часов.
   Количество компьютеров: $\frac{120}{6} = 20$.
   Ответ: 20.
9. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 35 и 77.
   Решение:
   НОК$(35, 77) = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$
   Ответ: 385.
10. Маше 12 лет, ее папе 60 лет. Маша говорит: «Брат старше меня на столько же лет, на сколько лет папа старше брата». Сколько лет брату?
    Решение:
    Пусть брату $x$ лет. Тогда:
    $x - 12 = 60 - x$
    $2x = 72$
    $x = 36$
    Ответ: 36.
11. Дама за 10 секунд проехала 200 м. Ее остановил полицейский за превышение скорости. Сколько километров в час она ехала?
    Решение:
    Скорость: $\frac{200 \text{ м}}{10 \text{ с}} = 20 \text{ м/с} = 20 \cdot 3,6 \text{ км/ч} = 72 \text{ км/ч}$
    Ответ: 72 км/ч.
12. Пакет молока стоил 12 руб., а потом вырос в цене до 15 руб. На сколько процентов выросла цена пакета?
    Решение:
    Увеличение: $\frac{15 - 12}{12} \cdot 100% = \frac{3}{12} \cdot 100% = 25\%$
    Ответ: 25\%.
13. В поход пошли 15 мальчиков и 10 девочек. Общий вес груза 200 кг. Рюкзак мальчика в 2 раза тяжелее рюкзака девочки. Найдите вес рюкзака девочки.
    Решение:
    Пусть вес рюкзака девочки $x$ кг. Тогда мальчика $2x$ кг.
    Общий вес: $15 \cdot 2x + 10 \cdot x = 40x = 200$
    $x = \frac{200}{40} = 5$ кг.
    Ответ: 5 кг.
14. Чтобы покрасить все грани деревянного кубика высотой 1 см нужно 1 г краски. Сколько краски понадобится, чтобы покрасить куб высотой 2 см?
    Решение:
    Площадь поверхности куба 1 см: $6 \cdot 1^2 = 6 \text{ см}^2$.
    Площадь куба 2 см: $6 \cdot 2^2 = 24 \text{ см}^2$.
    Краски потребуется: $\frac{24}{6} \cdot 1 \text{ г} = 4 \text{ г}$.
    Ответ: 4 г.
15. Волк увидел зайца на расстоянии 1 км и погнался за ним со скоростью 18 км/ч. Заяц убегал от волка со скоростью 14 км/ч. Через сколько минут волк догонит зайца?
    Решение:
    Скорость сближения: $18 - 14 = 4 \text{ км/ч}$.
    Время: $\frac{1 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 0,25 \text{ ч} = 15 \text{ мин}$.
    Ответ: 15 минут.
16. На 34 рубля можно купить 10 карандашей и 6 ручек либо 2 карандаша и 8 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
    Решение:
    Пусть карандаш стоит $k$ руб., ручка $r$ руб.
    Система уравнений: \[ \begin{cases} 10k + 6r = 34 \\ 2k + 8r = 34 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 5: $10k + 40r = 170$.
    Вычтем первое уравнение: $34r = 136 \Rightarrow r = 4$.
    Из второго уравнения: $2k + 8 \cdot 4 = 34 \Rightarrow k = 1$.
    Отношение: $\frac{r}{k} = \frac{4}{1} = 4$.
    Ответ: в 4 раза.