Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 7

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 7

1. Шарик и Матроскин надоили 10 л молока. Шарик перелил часть в ведро Матроскина. У Шарика стало в 3 раза меньше, у Матроскина — в 3 раза больше. Сколько молока у Матроскина?
2. Двое красят по одной клетке на доске 4×4. Проигрывает тот, кто завершает квадрат 2×2. Кто выиграет при любой стратегии соперника?
3. На прямой — 9 красных и 9 синих точек в случайном порядке. Всегда ли можно стереть по 4 каждого цвета так, чтобы оставшиеся по 5 шли подряд?
4. Есть 18 камней с разными весами. Как за 25 взвешиваний на чашечных весах найти самый тяжёлый и самый лёгкий?

Решения задач

1. Шарик и Матроскин надоили 10 л молока. Шарик перелил часть в ведро Матроскина. У Шарика стало в 3 раза меньше, у Матроскина — в 3 раза больше. Сколько молока у Матроскина?
   Решение: Пусть изначально у Шарика было $S$ литров, у Матроскина — $M$ литров. По условию $S + M = 10$. После переливания $x$ литров:
   $S - x = \frac{1}{3}(M + x)$
   Подставляем $M = 10 - S$:
   $3(S - x) = (10 - S) + x$
   $3S - 3x = 10 - S + x$
   $4S - 4x = 10 \Rightarrow S - x = 2,5$ литра (осталось у Шарика)
   Тогда у Матроскина стало $3 \cdot 2,5 = 7,5$ литров.
   Ответ: 7,5 л.
   
   
2. Двое красят по одной клетке на доске 4×4. Проигрывает тот, кто завершает квадрат 2×2. Кто выиграет при любой стратегии соперника?
   Решение: Второй игрок может использовать стратегию симметрии. Отвечая на каждый ход первого игрока симметрично относительно центра доски, он предотвращает завершение квадрата 2×2. Таким образом, первый игрок неизбежно создаст завершающий квадрат.
   Ответ: второй игрок.
   
   
3. На прямой — 9 красных и 9 синих точек в случайном порядке. Всегда ли можно стереть по 4 каждого цвета так, чтобы оставшиеся по 5 шли подряд?
   Решение: Рассмотрим скользящее окно из 10 последовательных точек. Всего таких окон 9. В каждом окне подсчитаем количество красных ($R$) и синих ($B$) точек. Сумма $R$ по всем окнам равна $9 \cdot 9 = 81$, среднее $R$ на окно — 9. Аналогично для синих. Существует окно, где $R \geq 5$ и $B \geq 5$. Удалив лишние 4 красных и 4 синих, получим требуемое.
   Ответ: да, всегда.
   
   
4. Есть 18 камней с разными весами. Как за 25 взвешиваний на чашечных весах найти самый тяжёлый и самый лёгкий?
   Решение: Разделим камни на 9 пар. Каждую пару взвешиваем (9 взвешиваний), определяя тяжёлый и лёгкий. Из 9 тяжёлых повторяем процедуру для поиска максимума (8 взвешиваний). Аналогично из 9 лёгких ищем минимум (8 взвешиваний). Всего: $9 + 8 + 8 = 25$.
   Ответ: за 25 взвешиваний.