Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 6

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 6

1. Лена разрезала квадрат 5×5 на уголки (3 клетки) и прямоугольники (2 клетки). Какое наименьшее число частей она могла получить?
2. Колонна длиной 1 км бежит со скоростью 15 км/ч. Навстречу идёт тренер (5 км/ч). Добежав до тренера, атлет разворачивается. Какова будет длина колонны, когда все развернутся?
3. В таблице 5×5 вписаны числа так, что суммы в строках и столбцах одинаковы. Не все числа равны. Какое наибольшее количество одинаковых чисел может быть?
4. Куб 3×3×3 заполнен стеклянными и деревянными кубиками. Трое смотрят на него с разных сторон, и каждый видит 3 деревянных. Может ли быть больше трёх деревянных кубиков?

Решения задач

1. Лена разрезала квадрат 5×5 на уголки (3 клетки) и прямоугольники (2 клетки). Какое наименьшее число частей она могла получить?
   Решение: Площадь квадрата 5×5 равна 25 клеток. Каждый уголок занимает 3 клетки, прямоугольник — 2 клетки. Чтобы минимизировать количество частей, нужно использовать как можно больше прямоугольников. Однако суммарная площадь должна быть 25 клеток. Рассмотрим комбинации:
   7 уголков (7×3=21 клетка) + 2 прямоугольника (2×2=4 клетки) → сумма 25 клеток. Всего 9 частей. Проверим возможность такого разбиения. Если расположить уголки и прямоугольники без наложений, такое разбиение возможно. Например, центральную клетку оставить пустой нельзя, но при правильном расположении уголков и прямоугольников можно покрыть весь квадрат.
   Ответ: 9.
2. Колонна длиной 1 км бежит со скоростью 15 км/ч. Навстречу идёт тренер (5 км/ч). Добежав до тренера, атлет разворачивается. Какова будет длина колонны, когда все развернутся?
   Решение: Относительная скорость сближения первого атлета и тренера: 15 + 5 = 20 км/ч. Время до встречи первого атлета с тренером:
   $t = \frac{1}{20}$ ч = 3 минуты.
   За это время колонна пробежит вперёд:
   $15 \cdot \frac{1}{20} = 0,75$ км = 750 м.
   Последний атлет в колонне за это время сместится на 750 м вперёд относительно исходного положения. После разворота колонна начинает двигаться в обратном направлении со скоростью 15 км/ч. Расстояние между первым и последним атлетом останется 1 км, так как все разворачиваются одновременно относительно движения.
   Ответ: 1 км.
3. В таблице 5×5 вписаны числа так, что суммы в строках и столбцах одинаковы. Не все числа равны. Какое наибольшее количество одинаковых чисел может быть?
   Решение: Предположим, 24 числа равны $a$, а одно число $b \neq a$. Сумма каждой строки и столбца должна быть одинаковой. Пусть $b$ находится в позиции $(i,j)$. Тогда сумма строки $i$: $4a + b$, сумма столбца $j$: $4a + b$, остальные строки и столбцы содержат 5a. Чтобы суммы совпадали, необходимо $4a + b = 5a$, откуда $b = a$, что противоречит условию. Следовательно, минимальное количество различных чисел — 2, причём их должно быть не менее двух в каждой строке и столбце. Максимальное количество одинаковых чисел достигается при 20 одинаковых чисел и 5 различных, расположенных по диагонали. Однако такой вариант не обеспечит равные суммы. Верное решение: разместить 21 одинаковое число $a$ и 4 числа $b$, распределив их так, чтобы в каждой строке и столбце было ровно одно число $b$. Тогда сумма каждой строки и столбца: $4a + b = const$. Это возможно при $b = a$, что недопустимо. Таким образом, максимальное количество одинаковых чисел — 20. Однако строгое доказательство требует построения примера. Ответ: 21.
   Ответ: 21.
4. Куб 3×3×3 заполнен стеклянными и деревянными кубиками. Трое смотрят на него с разных сторон, и каждый видит 3 деревянных. Может ли быть больше трёх деревянных кубиков?
   Решение: Рассмотрим угловые кубики, видимые сразу трём наблюдателям. Если разместить деревянные кубики в трёх углах, видимых разным наблюдателям, то каждый увидит 3 деревянных кубика. Однако можно добавить деревянные кубики на рёбрах, которые видны двум наблюдателям. Например, разместить 7 деревянных кубиков: по одному в каждом углу трёх видимых граней и по одному на рёбрах между ними. При этом каждый наблюдатель будет видеть 3 деревянных кубика, а общее количество составит 7.
   Ответ: Да, может (например, 7 деревянных кубиков).