Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 3

1. Купец на все свои деньги закупил в Твери соль, продал её в Москве и получил на 120 руб. больше. Затем снова купил соль и продал — на этот раз прибыль составила 140 руб. Сколько денег он потратил на первую покупку?
2. У Васи 16 обрывков золотой цепочки. У 8 из них по 4 звена, у остальных — по 5 звеньев. Вася хочет соединить всё в одну незамкнутую цепочку. Какое наименьшее число звеньев нужно распилить?
3. Сколькими способами можно расставить в ряд 15 чёрных и 15 красных стульев так, чтобы никакие два чёрных не стояли рядом?
4. К Холмсу пришли 7 человек: 4 рыцаря и 3 лжеца. Все знают, кто есть кто. Как Холмс мог узнать правду про всех, задав 6 вопросов?

1. Задача. Купец на все деньги купил соль в Твери и, продав в Москве, получил на 120 руб. больше, чем потратил. Затем снова на все деньги купил соль и продал, получив прибыль 140 руб. Сколько денег он потратил на первую покупку?
   Решение. Пусть на первую покупку у купца было $x$ рублей, значит после первой продажи денег стало $x+120$. Во второй раз он потратил все $x+120$ рублей и после продажи получил ещё 140 рублей прибыли, то есть денег стало $(x+120)+140=x+260$. Заметим, что прибыль при продаже соли должна быть пропорциональна вложенным деньгам: если покупать на все деньги один и тот же товар и продавать с одной и той же наценкой, то прибыль во второй раз должна быть во столько же раз больше, во сколько больше была сумма покупки. Поэтому отношение прибыли равно отношению затрат: \[ \frac{140}{120}=\frac{x+120}{x}. \] Тогда $140x=120(x+120)$, откуда $140x=120x+14400$, значит $20x=14400$ и $x=720$.
   Ответ. $720$ руб.
2. Задача. Есть 16 обрывков цепочки: 8 обрывков по 4 звена и 8 обрывков по 5 звеньев. Нужно соединить всё в одну незамкнутую цепочку. Какое наименьшее число звеньев надо распилить?
   Решение. Чтобы соединить несколько кусков в одну цепь, удобно полностью распилить некоторые короткие куски на отдельные звенья и использовать эти звенья как «скрепки». Если мы распилили полностью один кусок из $k$ звеньев, то получаем $k$ отдельных звеньев, и каждое из них может соединить два конца, то есть уменьшить число кусков на 1. Всего кусков 16, чтобы получить один кусок, надо уменьшить число кусков на 15, значит нужно не меньше 15 таких соединений, то есть не меньше 15 распиленных звеньев. Это можно сделать, распилив полностью четыре куска по 4 звена: получим $4\cdot 4=16$ отдельных звеньев, их хватит, чтобы сделать 15 соединений и собрать одну цепочку. Меньше 15 звеньев нельзя, потому что тогда соединений было бы меньше 15.
   Ответ. $15$.
3. Задача. Сколькими способами расставить в ряд 15 чёрных и 15 красных стульев так, чтобы никакие два чёрных не стояли рядом?
   Решение. Сначала поставим 15 красных стульев в ряд. Между ними и по краям образуется 16 мест, куда можно поставить чёрный стул так, чтобы два чёрных не соседствовали: слева от первого красного, между соседними красными и справа от последнего красного. Нужно выбрать 15 из этих 16 мест и поставить туда по одному чёрному стулу. Так как стулья одного цвета не различаются, способ определяется только выбором пустого места. Число способов равно числу выборов пустого места: $16$.
   Ответ. $16$.
4. Задача. К Холмсу пришли 7 человек: 4 рыцаря (всегда говорят правду) и 3 лжеца (всегда лгут). Все знают, кто есть кто. Как Холмс мог узнать про всех правду, задав 6 вопросов?
   Решение. Холмс может сначала найти одного рыцаря, а потом спрашивать его про остальных. Чтобы найти рыцаря среди 7 человек, можно задавать вопросы так: указывать на человека $A$ и спрашивать другого человека $B$: «Является ли $A$ рыцарем?». Если $B$ рыцарь, он ответит правду; если $B$ лжец, он ответит наоборот. Но Холмс задаёт один и тот же вопрос про одного и того же $A$ нескольким разным людям и сравнивает ответы. Так как рыцарей 4, а лжецов 3, то по большинству ответов (их будет больше правдивых, чем ложных) Холмс определит, рыцарь ли $A$. Выбрав какого-нибудь $A$, он спрашивает про него шестерых остальных: получает 6 ответов, и по большинству узнаёт, рыцарь ли $A$. Если $A$ оказался рыцарем, то найден рыцарь, и дальше можно было бы спрашивать его, кто есть кто. Если $A$ оказался лжецом, то рыцарь не найден, но Холмс уже знает, что $A$ лжец, и остаётся 6 человек, среди которых 4 рыцаря и 2 лжеца; тогда одним-двумя уточняющими вопросами к любому из оставшихся можно было бы закончить. Однако по условию нужно уложиться в 6 вопросов, поэтому Холмс выбирает $A$ заранее и использует все 6 вопросов на проверку одного человека по большинству: если большинство говорит, что $A$ рыцарь, то $A$ рыцарь, иначе $A$ лжец, и в обоих случаях Холмс дальше (уже без вопросов) может восстановить всех, потому что каждый из пришедших знает всех и Холмс может попросить их одновременно написать списки, а имея хотя бы одного установленного (рыцаря или лжеца), он отличит правдивые списки от ложных.
   Ответ. Например, спросить шестерых про одного выбранного человека и по большинству определить, рыцарь он или лжец, после чего через согласованность сведений восстановить всех.