Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 3

1. Купец на все свои деньги закупил в Твери соль, продал её в Москве и получил на 120 руб. больше. Затем снова купил соль и продал — на этот раз прибыль составила 140 руб. Сколько денег он потратил на первую покупку?
2. У Васи 16 обрывков золотой цепочки. У 8 из них по 4 звена, у остальных — по 5 звеньев. Вася хочет соединить всё в одну незамкнутую цепочку. Какое наименьшее число звеньев нужно распилить?
3. Сколькими способами можно расставить в ряд 15 чёрных и 15 красных стульев так, чтобы никакие два чёрных не стояли рядом?
4. К Холмсу пришли 7 человек: 4 рыцаря и 3 лжеца. Все знают, кто есть кто. Как Холмс мог узнать правду про всех, задав 6 вопросов?

Решения задач

1. Купец на все свои деньги закупил в Твери соль, продал её в Москве и получил на 120 руб. больше. Затем снова купил соль и продал — на этот раз прибыль составила 140 руб. Сколько денег он потратил на первую покупку?
   Решение: Пусть первоначальная сумма купца равна \( x \) рублей. После первой продажи у него стало \( x + 120 \) рублей. На эти деньги он купил соль во второй раз и продал, получив прибыль 140 рублей. Прибыль от второй операции равна разнице между выручкой и затратами: \[ (x + 120) + 140 = x + 260 \quad \Rightarrow \quad \text{выручка второй продажи} = x + 260. \] Прибыль от второй продажи составляет 140 рублей, значит: \[ (x + 260) - (x + 120) = 140. \] Это условие выполняется для любого \( x \). Однако процент прибыли должен быть одинаковым в обоих случаях. Пусть процент прибыли равен \( k \). Тогда: \[ x \cdot (1 + k) = x + 120 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{120}{x}, \] \[ (x + 120) \cdot (1 + k) = x + 260 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{140}{x + 120}. \] Приравнивая выражения для \( k \): \[ \frac{120}{x} = \frac{140}{x + 120} \quad \Rightarrow \quad 120(x + 120) = 140x \quad \Rightarrow \quad 20x = 14400 \quad \Rightarrow \quad x = 720. \] Ответ: 720 рублей.
2. У Васи 16 обрывков золотой цепочки. У 8 из них по 4 звена, у остальных — по 5 звеньев. Вася хочет соединить всё в одну незамкнутую цепочку. Какое наименьшее число звеньев нужно распилить?
   Решение: Каждый обрывок — замкнутое кольцо. Чтобы превратить кольцо в цепочку, нужно распилить одно звено. Для соединения 16 колец в одну цепочку необходимо разомкнуть каждое кольцо, потратив по одному распилу на каждое. Однако при соединении цепочек можно использовать распиленные звенья для создания новых связей. Минимальное число распилов равно количеству колец минус один: \[ 16 - 1 = 15. \] Ответ: 15.
3. Сколькими способами можно расставить в ряд 15 чёрных и 15 красных стульев так, чтобы никакие два чёрных не стояли рядом?
   Решение: Чёрные стулья должны быть разделены хотя бы одним красным. Расставим сначала 15 красных стульев, создав 16 промежутков (между ними и по краям). В эти промежутки нужно разместить 15 чёрных стульев, по одному в каждый промежуток. Количество способов выбрать 15 промежутков из 16: \[ \binom{16}{15} = 16. \] Ответ: 16 способов.
4. К Холмсу пришли 7 человек: 4 рыцаря и 3 лжеца. Все знают, кто есть кто. Как Холмс мог узнать правду про всех, задав 6 вопросов?
   Решение: Холмс задаёт каждому из первых 6 человек вопрос: «Вы рыцарь?».
   • Если ответ «Нет», человек — лжец.
   • Если ответ «Да», человек может быть рыцарем или лжецом.
   Поскольку рыцарей всего 4, количество ответов «Нет» среди 6 вопросов укажет число лжецов. Например:
   • Если 3 ответа «Нет», эти 3 — лжецы. Остальные 3 ответивших «Да» — рыцари. Седьмой человек — рыцарь (всего 4 рыцаря).
   • Если 2 ответа «Нет», эти 2 — лжецы. Среди ответивших «Да» 4 человека: 3 рыцаря и 1 лжец. Седьмой человек — лжец.
   Таким образом, статус седьмого человека определяется автоматически по общему количеству рыцарей и лжецов.
   Ответ: Задать 6 вопросов «Вы рыцарь?» первым 6 человекам. По ответам определить их статусы, а статус седьмого вывести из общего количества (4 рыцаря и 3 лжеца).