Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 2

1. Решите ребус: $abcd \cdot 9 = dcba$, где разными буквами обозначены разные цифры.
2. Аня съела половину всех пирожков и ещё 1. Потом Боря съел половину оставшихся и ещё 1. Затем Вера съела половину остатка и ещё 1. Наконец, Гоша съел половину оставшихся и ещё 1. В итоге пирожков не осталось. Сколько было пирожков в начале?
3. Знайка подошёл к близнецам Винтику и Шпунтику, зная, что один из них точно врун, и спросил одного: «Ты Винтик?» — «Да», — ответил тот. Знайка спросил другого: «Ты Винтик?» — и по ответу сразу определил, кто есть кто. Верно ли, что оба брата вруны?
4. Найдите 3 различных натуральных числа, сумма которых не превышает 500, а произведение оканчивается на 6 нулей.

Решения задач

1. Решите ребус: $abcd \cdot 9 = dcba$, где разными буквами обозначены разные цифры.
   Решение:
   • Так как при умножении на 9 четырёхзначное число остаётся четырёхзначным, первая цифра $a$ может быть только 1 ($9 \cdot 1000 = 9000$ — пятизначное).
   • Тогда $d = 9$, так как $9 \cdot 9 = 81$ (последняя цифра $a = 1$).
   • Уравнение принимает вид: $1bc9 \cdot 9 = 9cb1$.
   • Рассмотрим третью цифру: $9 \cdot c + 8$ (перенос) должно заканчиваться на $b$. Подбором находим $c = 8$, тогда $b = 0$ ($9 \cdot 8 + 8 = 80$).
   Получаем число 1089. Проверка: $1089 \cdot 9 = 9801$.
   Ответ: 1089.
   
   
2. Аня съела половину всех пирожков и ещё 1. Потом Боря съел половину оставшихся и ещё 1. Затем Вера съела половину остатка и ещё 1. Наконец, Гоша съел половину оставшихся и ещё 1. В итоге пирожков не осталось. Сколько было пирожков в начале?
   Решение: Решаем с конца:
   • После Гоши: $0$ пирожков. Перед ним было $(0 + 1) \cdot 2 = 2$.
   • После Веры: $2$ пирожка. Перед ней было $(2 + 1) \cdot 2 = 6$.
   • После Бори: $6$ пирожков. Перед ним было $(6 + 1) \cdot 2 = 14$.
   • После Ани: $14$ пирожков. Изначально было $(14 + 1) \cdot 2 = 30$.
   Проверка: 30 → Аня: 15 + 1 = 16 (осталось 14). Боря: 7 + 1 = 8 (осталось 6). Вера: 3 + 1 = 4 (осталось 2). Гоша: 1 + 1 = 2 (осталось 0).
   Ответ: 30.
   
   
3. Знайка подошёл к близнецам Винтику и Шпунтику, зная, что один из них точно врун, и спросил одного: «Ты Винтик?» — «Да», — ответил тот. Знайка спросил другого: «Ты Винтик?» — и по ответу сразу определил, кто есть кто. Верно ли, что оба брата вруны?
   Решение:
   • Пусть первый ответил "Да". Если он Винтик-правдивый, то второй должен быть Шпунтиком-лжецом, но тогда второй на вопрос "Ты Винтик?" должен ответить "Нет" (как лжец), что позволит их различить.
   • Если первый — Шпунтик-лжец (ответил "Да" ложно), то второй — Винтик-правдивый, который ответит "Нет" на вопрос "Ты Винтик?" — противоречие.
   • Единственный вариант, когда ответы позволяют однозначно определить братьев — оба вруны: первый лжёт, что он Винтик, второй также лжёт на вопрос о своём имени.
   Ответ: Да, оба брата вруны.
   
   
4. Найдите 3 различных натуральных числа, сумма которых не превышает 500, а произведение оканчивается на 6 нулей.
   Решение:
   • Для 6 нулей в произведении нужно минимум 6 множителей 2 и 6 множителей 5.
   • Оптимальные числа: 125 ($5^3$), 160 ($2^5 \cdot 5$), 25 ($5^2$).
   • Сумма: $125 + 160 + 25 = 310 \leq 500$.
   • Произведение: $125 \cdot 160 \cdot 25 = 500\,000$ (6 нулей).
   Ответ: 125, 160, 25.