Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 12

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 12

1. Малыш и Карлсон ели торты. Через 10 минут обменялись остатками. Доели одновременно. Сколько минут доедали? Почему других ответов нет?
2. На доске 6×6 расположен корабль 1×6. Сколько нужно детекторов, чтобы определить его положение?
3. На первых двух тарелках из 2018 лежит по мандарину. Игроки переносят мандарины вперёд на любую свободную. Кто выигрывает?
4. Какое наименьшее число жильцов можно вселить в 30 квартир так, чтобы в любых трёх квартирах было не менее 7 человек?

Решения задач

1. Малыш и Карлсон ели торты. Через 10 минут обменялись остатками. Доели одновременно. Сколько минут доедали? Почему других ответов нет?
   Решение: Пусть скорости поедания тортов Малышом и Карлсоном равны $v_m$ и $v_k$ (долей торта в минуту). За 10 минут Малыш съел $10v_m$, остаток: $1-10v_m$. Карлсон съел $10v_k$, остаток: $1-10v_k$. После обмена:
   Время доедания Малышом: $\frac{1-10v_k}{v_m}$
   Время доедания Карлсоном: $\frac{1-10v_m}{v_k}$
   По условию времена равны: $\frac{1-10v_k}{v_m} = \frac{1-10v_m}{v_k}$
   Решая уравнение, получаем $v_m = v_k$. Тогда остатки равны $1-10v$, время доедания: $\frac{1-10v}{v} = \frac{1}{v} - 10$. Из исходного условия за 10 минут съедается $10v$ торта, значит $\frac{1}{v} = 20$ минут (полное время). Тогда время доедания: $20 - 10 = 10$ минут.
   Ответ: 10 минут. Других решений нет, так как равенство скоростей — единственный способ обеспечить одновременное завершение.
2. На доске 6×6 расположен корабль 1×6. Сколько нужно детекторов, чтобы определить его положение?
   Решение: Корабль занимает 6 клеток в строке или столбце. Для однозначной идентификации необходимо:
   - В каждой строке по 1 детектору в уникальном столбце (6 детекторов)
   - В каждом столбце по 1 детектору в уникальной строке (6 детекторов)
   Всего 12 детекторов. Альтернативно: разместить детекторы в шахматном порядке через клетку, что даст 18 детекторов, но минимальное количество — 12.
   Ответ: 12 детекторов.
3. На первых двух тарелках из 2018 лежит по мандарину. Игроки переносят мандарины вперёд на любую свободную. Кто выигрывает?
   Решение: Первый игрок может зеркалить ходы второго относительно центральной оси. После каждого хода первого игрока позиции остаются симметричными. Когда второй игрок не сможет сделать ход, первый завершит победу.
   Ответ: Выигрывает первый игрок.
4. Какое наименьшее число жильцов можно вселить в 30 квартир так, чтобы в любых трёх квартирах было не менее 7 человек?
   Решение: Распределим жильцов так, чтобы в 28 квартирах было по 2 человека, а в 2 квартирах — по 3. Тогда в любой тройке:
   - Если все три квартиры с 2 жильцами: $2+2+2=6$ (не подходит)
   Следовательно, необходимо увеличить минимум до 2 квартир с 3 жильцами. Перераспределим: 27 квартир по 2, 3 квартиры по 3. Тогда минимальная сумма в тройке: $2+2+3=7$. Общее число жильцов: $27×2 + 3×3 = 63$.
   Ответ: 63 жильца.