Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 11

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 11

1. Есть 12 ламп по кругу. За один ход можно изменить любые 3 подряд. Горит одна. Можно ли включить все?
2. Замкнутая ломаная: любые два звена имеют ровно одну общую точку. Докажите, что число звеньев нечётно.
3. На 11 планетах по одному астроному. Каждый наблюдает ближайшую планету. Все расстояния разные. Докажите, что хотя бы одна не наблюдается.
4. Два пятизначных числа зашифрованы как УЗКОЕ и МЕСТО. Возможно ли, чтобы ни в одном не было беспорядка?

Решения задач

1. Есть 12 ламп по кругу. За один ход можно изменить любые 3 подряд. Горит одна. Можно ли включить все?
   Решение: Рассмотрим лампы как кольцо из 12 элементов. Каждая операция меняет состояние трёх последовательных ламп.
   Заметим, что каждая лампа участвует ровно в трёх операциях: например, лампа 1 в операциях (12,1,2), (1,2,3) и (11,12,1).
   Поскольку начальное состояние имеет нечётное число горящих ламп (1), а каждая операция меняет чётность количества горящих ламп (меняет 3 состояния), то общее количество горящих ламп всегда останется нечётным.
   Но 12 — чётное число. Получить все 12 горящих ламп (чётное количество) невозможно при нечётном количестве операций.
   Ответ: Невозможно.
2. Замкнутая ломаная: любые два звена имеют ровно одну общую точку. Докажите, что число звеньев нечётно.
   Решение: Предположим, ломаная имеет n звеньев. Каждое звено пересекается с другими звеньями в двух точках (начале и конце соседних звеньев).
   По условию, любые два звена пересекаются ровно в одной точке. Общее количество пересечений: $\frac{n(n-1)}{2}$.
   С другой стороны, каждое из n звеньев имеет 2 соседних звена, с которыми пересекается в двух точках. Остальные (n-3) звеньев пересекаются с данным звеном по одному разу.
   Общее количество пересечений: $n \cdot (2 + (n-3)) = n(n-1)$.
   Приравниваем: $\frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) \Rightarrow n(n-1) = 0$, что невозможно. Следовательно, предположение о чётности n приводит к противоречию.
   Ответ: Число звеньев нечётно.
3. На 11 планетах по одному астроному. Каждый наблюдает ближайшую планету. Все расстояния разные. Докажите, что хотя бы одна не наблюдается.
   Решение: Предположим, что каждая планета наблюдается хотя бы одним астрономом.
   Рассмотрим пару планет A и B, где A — ближайшая к B, и B — ближайшая к A. Такая "взаимная" пара возможна только из двух планет.
   Поскольку планет 11 (нечётное количество), останется минимум одна планета, которая наблюдает кого-то из пары, но сама не будет наблюдаться другими.
   Таким образом, всегда существует хотя бы одна планета, на которую не направлен ни один телескоп.
   Ответ: Хотя бы одна планета не наблюдается.
4. Два пятизначных числа зашифрованы как УЗКОЕ и МЕСТО. Возможно ли, чтобы ни в одном не было беспорядка?
   Решение: Предположим, буквы заменяются цифрами без повторений. Для отсутствия "беспорядка" (вероятно, монотонности) в числах, цифры должны идти в строгом порядке возрастания или убывания.
   УЗКОЕ: 5 букв, все разные. МЕСТО: 5 букв (М, Е, С, Т, О).
   Если У < З < К < О < Е — невозможно, так как порядок букв не соответствует алфавитному. Аналогично для М < Е < С < Т < О — противоречие (Е идет после М, но С после Е и т.д.).
   Следовательно, создать такие пятизначные числа без нарушения порядка цифр невозможно.
   Ответ: Невозможно.