Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 10

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 10

1. В семействе кенгуру: двое самых лёгких — 25% от общего веса, трое самых тяжёлых — 60\%. Сколько всего кенгуру?
2. На доске стоят ладьи: в каждой строке и столбце — по 2. Можно ли убрать 8 ладей так, чтобы осталось по одной в каждой строке и столбце?
3. Квадрат разрезан на 4 прямоугольника шахматного цвета. Сумма площадей белых равна сумме чёрных. Обязательно ли хотя бы одна прямая делит квадрат пополам?
4. На полоске 1×40 в первой клетке стоит фишка. Игроки двигают её вправо или влево на ещё не использованную длину хода. Кто может победить?

Решения задач

1. В семействе кенгуру: двое самых лёгких — $25\%$ от общего веса, трое самых тяжёлых — $60\%$. Сколько всего кенгуру?
   Решение: Пусть общий вес семейства равен $100\%$. Тогда:
   - Двое самых лёгких составляют $25\%$ → средний вес одного лёгкого: $12,5\%$
   - Трое тяжёлых составляют $60\%$ → средний вес одного тяжёлого: $20\%$
   Оставшиеся кенгуру должны составлять $100\%$ - $25\%$ - $60\%$ = $15\%$. Пусть их количество равно $k$. Тогда:
   $12,5% < \frac{15\%}{k} < 20\%$
   Единственное целое $k$, удовлетворяющее неравенству: $k = 1$ ($15\%/1 = 15\%$)
   Общее количество кенгуру: $2 + 3 + 1 = 6$
   Ответ: 6.
2. На доске стоят ладьи: в каждой строке и столбце — по 2. Можно ли убрать 8 ладей так, чтобы осталось по одной в каждой строке и столбце?
   Решение: Изначально в каждой строке и столбце ровно 2 ладьи. Доска имеет размер $8 \times 8$, так как 2 ладьи в строке × 8 строк = 16 ладей. Убрав 8 ладей, оставляем по 1 в каждой строке и столбце — классическая задача о расстановке ферзей. Такая расстановка всегда возможна, так как можно выбрать одно из двух возможных положений ладей в каждой строке, обеспечив уникальность в столбцах.
   Ответ: Да, можно.
3. Квадрат разрезан на 4 прямоугольника шахматного цвета. Сумма площадей белых равна сумме чёрных. Обязательно ли хотя бы одна прямая делит квадрат пополам?
   Решение: Рассмотрим квадрат, разрезанный на четыре прямоугольника с чередующимися цветами. Если все разрезы смещены относительно центра, например:
   - Два вертикальных разреза на расстояниях 1/3 и 2/3 от левого края
   - Два горизонтальных разреза на расстояниях 1/4 и 3/4 от нижнего края
   При правильном подборе размеров площади белых и чёрных частей могут быть равны, но ни одна линия разреза не совпадает с центральными осями квадрата.
   Ответ: Нет, не обязательно.
4. На полоске 1×40 в первой клетке стоит фишка. Игроки двигают её вправо или влево на ещё не использованную длину хода. Кто может победить?
   Решение: Анализируем игру как комбинацию доступных ходов-чисел от 1 до 39. Первый игрок может выбрать симметричную стратегию:
   - Первым ходом сдвинуть фишку на 39 клеток вправо (позиция 40)
   - Далее зеркально повторять ходы противника относительно центра полоски
   Однако из начальной позиции 1 максимальный возможный первый ход — 39 вправо (на последнюю клетку). Последующие ходы противника будут ограничены оставшимися длинами. Первый игрок, контролируя чётность оставшихся ходов, может обеспечить победу.
   Ответ: Первый игрок.