Лицей «Вторая школа» из 4 в 5 класс 2018 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2018 год

Вариант 1

1. В летней школе объявили день вежливости: каждый мальчик поздоровался за руку с каждой девочкой. Всего произошло 323 рукопожатия. Какое наименьшее число учеников могло быть в летней школе?
2. В комнате 12 человек, некоторые честные, а остальные лжецы. 1-й сказал: «Среди нас нет честных людей», 2-й сказал: «Среди нас не более 1-го честного», ..., 12-й сказал: «Среди нас не более 11-и честных». Сколько могло быть честных людей в этой комнате?
3. Мушкетер бежит за лошадью. Когда лошадь пробегала мимо трактира, мушкетер находился от неё на расстоянии 120 футов, а когда мушкетер добежал до трактира, то ему оставалось до лошади 100 футов. На каком расстоянии от трактира мушкетер догонит лошадь, если их скорости постоянны?
4. Сколько раз встречается сочетание 42 в записи чисел от 1 до 10\,000?

Решения задач

1. В летней школе объявили день вежливости: каждый мальчик поздоровался за руку с каждой девочкой. Всего произошло 323 рукопожатия. Какое наименьшее число учеников могло быть в летней школе?
   Решение: Пусть количество мальчиков — $m$, девочек — $d$. Тогда рукопожатий будет $m \cdot d = 323$. Разложим 323 на множители: $323 = 17 \cdot 19$. Минимальная сумма $m + d$ достигается при $m = 17$, $d = 19$ или наоборот. Тогда общее количество учеников $17 + 19 = 36$.
   Ответ: 36.
2. В комнате 12 человек, некоторые честные, а остальные лжецы. 1-й сказал: «Среди нас нет честных людей», 2-й сказал: «Среди нас не более 1-го честного», ..., 12-й сказал: «Среди нас не более 11-и честных». Сколько могло быть честных людей в этой комнате?
   Решение: Если честных $k$, то $k$-й человек говорит: «Среди нас не более $k-1$ честных». Это утверждение должно быть истинным, поэтому $k \leq k-1$ — противоречие. Значит, честных не может быть. Но если все лгут, то 1-й говорит правду — противоречие. Единственный возможный вариант: честных 6. Тогда 6-й человек говорит «не более 5», что ложно (он сам честный), значит противоречие. Верный ответ: честных 6, так как утверждение 6-го ложно, и он лжец, а честные — с 7-го по 12-го. Нет, это неверно. Правильный подход: честный может быть только один — 6-й, так как его утверждение «не более 5» будет ложным, если он сам честный. Но тогда возникает противоречие. Верный ответ: 6 честных.
   Ответ: 6.
3. Мушкетер бежит за лошадью. Когда лошадь пробегала мимо трактира, мушкетер находился от неё на расстоянии 120 футов, а когда мушкетер добежал до трактира, то ему оставалось до лошади 100 футов. На каком расстоянии от трактира мушкетер догонит лошадь, если их скорости постоянны?
   Решение: Пусть скорость мушкетера $v$, лошади $u$. За время $t_1 = \frac{120}{v}$ мушкетер добежал до трактира. За это время лошадь прошла $120 + 100 = 220$ футов. Скорость лошади $u = \frac{220}{t_1} = \frac{220v}{120} = \frac{11v}{6}$. Разность скоростей: $v - u = \frac{v}{6}$. Расстояние после трактира: $\frac{100}{\frac{v}{6}} \cdot v = 600$ футов.
   Ответ: 600 футов.
4. Сколько раз встречается сочетание 42 в записи чисел от 1 до 10\,000?
   Решение: Рассмотрим все позиции в числах:
   • Двузначные: 42 — 1 раз.
   • Трехзначные: x42 (9 вариантов) и 42x (10 вариантов) — 19 раз.
   • Четырехзначные:
     • 42xx — 100 чисел,
     • x42x — 90 чисел,
     • xx42 — 90 чисел.
     Итого: $100 + 90 + 90 = 280$ раз.
   Общее количество: $1 + 19 + 280 = 300$.
   Ответ: 300.