Лицей «Воробьёвы Горы» из 7 в 8 класс 2025 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2025 год

25.04.2025

Вариант 1

1. Вычислите: $\bigl(0{,}014\cdot 1\tfrac{2}{3}-0{,}286:(-0{,}6)\bigr):(-0{,}025)$
2. Решите уравнение: \[ \frac{5x-1}{2}-\frac{7x-2}{10}=6\tfrac{3}{5}-\frac{x}{2} \]
3. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{aligned} &\frac{x+y}{3}+x=15\\ &y-\frac{y-x}{5}=6 \end{aligned} \right. \]
4. Разложите на множители:
   1. $7kn-6k+14n-12$;
   2. $8x^3-(y+1)^3$
5. Через середину отрезка с концами на двух параллельных прямых провели произвольную секущую. Докажите, что её отрезок между этими параллель ными делится данной точкой пополам.
6. Сколько граммов трехпроцентного и сколько граммов восьмипроцентного растворов соли нужно взять, чтобы получить $260$ г пятипроцентного соляного раствора?
7. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой $y=-13x+6{,}5$ и проходит через точку $A(-3; 5)$.
8. Диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$ делит углы $BAD$ и $BCD$ пополам. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Решения задач

1. Вычислите: $\left(0{,}014 \cdot 1\tfrac{2}{3} - 0{,}286 : (-0{,}6)\right) : (-0{,}025)$
   Решение: Переведём смешанное число и десятичные дроби в обыкновенные дроби:
   $0{,}014 = \frac{14}{1000}$, $1\tfrac{2}{3} = \frac{5}{3}$, $-0{,}6 = -\frac{3}{5}$, $-0{,}025 = -\frac{1}{40}$. Вычислим последовательно:
   $0{,}014 \cdot 1\tfrac{2}{3} = \frac{14}{1000} \cdot \frac{5}{3} = \frac{70}{3000} = \frac{7}{300} = 0{,}0233\ldots$
   $0{,}286 : (-0{,}6) = \frac{143}{500} : \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{143}{300} \approx -0{,}4766\ldots$
   Теперь найдем сумму скобок:
   $0{,}0233\ldots - (-0{,}4766\ldots) = 0{,}5$
   Затем разделим на $-0{,}025$:
   $0{,}5 : (-0{,}025) = -20$
   Ответ: $-20$.
2. Решите уравнение: \[ \frac{5x-1}{2}-\frac{7x-2}{10}=6\tfrac{3}{5}-\frac{x}{2} \] Решение: Умножим все члены уравнения на 10, чтобы исключить знаменатели:
   $5(5x - 1) - (7x - 2) = 66 - 5x$
   Раскроем скобки:
   $25x - 5 - 7x + 2 = 66 - 5x$
   Упростим:
   $18x - 3 = 66 - 5x$
   Переносим переменные влево, константы вправо:
   $23x = 69 \implies x = 3$
   Ответ: $x = 3$.
3. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{aligned} &\frac{x+y}{3}+x=15\\ &y-\frac{y-x}{5}=6 \end{aligned} \right. \] Решение: Преобразуем первое уравнение:
   $\frac{x + y}{3} + x = 15 \quad \Big| \cdot 3$
   $x + y + 3x = 45 \implies 4x + y = 45$ (1)
   Преобразуем второе уравнение:
   $y - \frac{y - x}{5} = 6 \quad \Big| \cdot 5$
   $5y - (y - x) = 30 \implies x + 4y = 30$ (2)
   Решаем систему методом исключения:
   Умножаем уравнение (2) на 1: $x + 4y = 30$
   Вычитаем из уравнения (1): $4x + y - (x + 4y) = 45 - 30$
   $3x - 3y = 15 \implies x - y = 5$ (3)
   Из уравнения (3): $x = y + 5$
   Подставляем в уравнение (2): $(y + 5) + 4y = 30$
   $5y = 25 \implies y = 5$, тогда $x = 10$
   Ответ: $x = 10$, $y = 5$.
4. Разложите на множители:
   1. $7kn-6k+14n-12$
      Решение: Группируем слагаемые:
      $7kn - 6k + 14n - 12 = (7kn + 14n) - (6k + 12) = 7n(k + 2) - 6(k + 2) = (k + 2)(7n - 6)$
      Ответ: $(k + 2)(7n - 6)$.
   2. $8x^3 - (y + 1)^3$
      Решение: Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
      Здесь $a = 2x$, $b = y + 1$:
      $8x^3 - (y + 1)^3 = (2x - (y + 1))(4x^2 + 2x(y + 1) + (y + 1)^2)$
      Ответ: $(2x - y - 1)(4x^2 + 2xy + 2x + y^2 + 2y + 1)$.
5. Через середину отрезка с концами на двух параллельных прямых провели произвольную секущую. Докажите, что её отрезок между этими параллельными делится данной точкой пополам.
   Доказательство: Пусть $AB$ — отрезок между параллельными прямыми $l$ и $m$, $M$ — его середина. Проведём секущую через $M$, которая пересекает $l$ в точке $C$ и $m$ в точке $D$. Рассмотрим подобные треугольники $ACM$ и $ADM$ (по углам). Так как $AM = MB$, треугольники равны по стороне и прилегающим углам, следовательно $CM = MD$. Таким образом, секущая делится точкой $M$ пополам.
6. Сколько граммов трехпроцентного и сколько граммов восьмипроцентного растворов соли нужно взять, чтобы получить $260$ г пятипроцентного соляного раствора?
   Решение: Пусть $x$ г — масса 3% раствора, $y$ г — масса 8% раствора. Тогда:
   $ \begin{cases} x + y = 260 \\ 0{,}03x + 0{,}08y = 0{,}05 \cdot 260 \implies 0{,}03x + 0{,}08y = 13 \end{cases} $
   Решаем: Из первого уравнения $y = 260 - x$. Подставляем во второе:
   $0{,}03x + 0{,}08(260 - x) = 13$
   $0{,}03x + 20{,}8 - 0{,}08x = 13$
   $-0{,}05x = -7{,}8 \implies x = 156$
   Тогда $y = 260 - 156 = 104$
   Ответ: 156 г 3% и 104 г 8\%.
7. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой $y=-13x+6{,}5$ и проходит через точку $A(-3; 5)$.
   Решение: Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Искомое уравнение: $y = -13x + b$. Подставим координаты точки $A$:
   $5 = -13(-3) + b \implies 5 = 39 + b \implies b = -34$
   Ответ: $y = -13x - 34$.
8. Диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$ делит углы $BAD$ и $BCD$ пополам. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
   Доказательство: По условию диагональ $AC$ является биссектрисой углов $BAD$ и $BCD$. Применим теорему о биссектрисе и свойства пропорции для треугольников $ABD$ и $CBD$:
   $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD}$
   Комбинация равенств приводит к соотношению $AB \cdot CD = AD \cdot BC$, которое характерно для ортодиагональных четырёхугольников. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.