8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 1525 «Воробьёвы Горы» из 7 в 8 класс 2025 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 25.05.2025
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ


2025 год


25.04.2025


Вариант 1

  1. Вычислите: $\bigl(0{,}014\cdot 1\tfrac{2}{3}-0{,}286:(-0{,}6)\bigr):(-0{,}025)$
  2. Решите уравнение: \[ \frac{5x-1}{2}-\frac{7x-2}{10}=6\tfrac{3}{5}-\frac{x}{2} \]
  3. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{aligned} &\frac{x+y}{3}+x=15\\ &y-\frac{y-x}{5}=6 \end{aligned} \right. \]
  4. Разложите на множители:
    1. $7kn-6k+14n-12$;
    2. $8x^3-(y+1)^3$
  5. Через середину отрезка с концами на двух параллельных прямых провели произвольную секущую. Докажите, что её отрезок между этими параллель ными делится данной точкой пополам.
  6. Сколько граммов трехпроцентного и сколько граммов восьмипроцентного растворов соли нужно взять, чтобы получить $260$ г пятипроцентного соляного раствора?
  7. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой $y=-13x+6{,}5$ и проходит через точку $A(-3; 5)$.
  8. Диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$ делит углы $BAD$ и $BCD$ пополам. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач

  1. Вычислите: $\left(0{,}014 \cdot 1\tfrac{2}{3} - 0{,}286 : (-0{,}6)\right) : (-0{,}025)$
    Решение: Переведём смешанное число и десятичные дроби в обыкновенные дроби:
    $0{,}014 = \frac{14}{1000}$, $1\tfrac{2}{3} = \frac{5}{3}$, $-0{,}6 = -\frac{3}{5}$, $-0{,}025 = -\frac{1}{40}$. Вычислим последовательно:
    $0{,}014 \cdot 1\tfrac{2}{3} = \frac{14}{1000} \cdot \frac{5}{3} = \frac{70}{3000} = \frac{7}{300} = 0{,}0233\ldots$
    $0{,}286 : (-0{,}6) = \frac{143}{500} : \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{143}{300} \approx -0{,}4766\ldots$
    Теперь найдем сумму скобок:
    $0{,}0233\ldots - (-0{,}4766\ldots) = 0{,}5$
    Затем разделим на $-0{,}025$:
    $0{,}5 : (-0{,}025) = -20$
    Ответ: $-20$.
  2. Решите уравнение: \[ \frac{5x-1}{2}-\frac{7x-2}{10}=6\tfrac{3}{5}-\frac{x}{2} \] Решение: Умножим все члены уравнения на 10, чтобы исключить знаменатели:
    $5(5x - 1) - (7x - 2) = 66 - 5x$
    Раскроем скобки:
    $25x - 5 - 7x + 2 = 66 - 5x$
    Упростим:
    $18x - 3 = 66 - 5x$
    Переносим переменные влево, константы вправо:
    $23x = 69 \implies x = 3$
    Ответ: $x = 3$.
  3. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{aligned} &\frac{x+y}{3}+x=15\\ &y-\frac{y-x}{5}=6 \end{aligned} \right. \] Решение: Преобразуем первое уравнение:
    $\frac{x + y}{3} + x = 15 \quad \Big| \cdot 3$
    $x + y + 3x = 45 \implies 4x + y = 45$ (1)
    Преобразуем второе уравнение:
    $y - \frac{y - x}{5} = 6 \quad \Big| \cdot 5$
    $5y - (y - x) = 30 \implies x + 4y = 30$ (2)
    Решаем систему методом исключения:
    Умножаем уравнение (2) на 1: $x + 4y = 30$
    Вычитаем из уравнения (1): $4x + y - (x + 4y) = 45 - 30$
    $3x - 3y = 15 \implies x - y = 5$ (3)
    Из уравнения (3): $x = y + 5$
    Подставляем в уравнение (2): $(y + 5) + 4y = 30$
    $5y = 25 \implies y = 5$, тогда $x = 10$
    Ответ: $x = 10$, $y = 5$.
  4. Разложите на множители:
    1. $7kn-6k+14n-12$
      Решение: Группируем слагаемые:
      $7kn - 6k + 14n - 12 = (7kn + 14n) - (6k + 12) = 7n(k + 2) - 6(k + 2) = (k + 2)(7n - 6)$
      Ответ: $(k + 2)(7n - 6)$.
    2. $8x^3 - (y + 1)^3$
      Решение: Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
      Здесь $a = 2x$, $b = y + 1$:
      $8x^3 - (y + 1)^3 = (2x - (y + 1))(4x^2 + 2x(y + 1) + (y + 1)^2)$
      Ответ: $(2x - y - 1)(4x^2 + 2xy + 2x + y^2 + 2y + 1)$.
  5. Через середину отрезка с концами на двух параллельных прямых провели произвольную секущую. Докажите, что её отрезок между этими параллельными делится данной точкой пополам.
    Доказательство: Пусть $AB$ — отрезок между параллельными прямыми $l$ и $m$, $M$ — его середина. Проведём секущую через $M$, которая пересекает $l$ в точке $C$ и $m$ в точке $D$. Рассмотрим подобные треугольники $ACM$ и $ADM$ (по углам). Так как $AM = MB$, треугольники равны по стороне и прилегающим углам, следовательно $CM = MD$. Таким образом, секущая делится точкой $M$ пополам.
  6. Сколько граммов трехпроцентного и сколько граммов восьмипроцентного растворов соли нужно взять, чтобы получить $260$ г пятипроцентного соляного раствора?
    Решение: Пусть $x$ г — масса 3% раствора, $y$ г — масса 8% раствора. Тогда:
    $ \begin{cases} x + y = 260 \\ 0{,}03x + 0{,}08y = 0{,}05 \cdot 260 \implies 0{,}03x + 0{,}08y = 13 \end{cases} $
    Решаем: Из первого уравнения $y = 260 - x$. Подставляем во второе:
    $0{,}03x + 0{,}08(260 - x) = 13$
    $0{,}03x + 20{,}8 - 0{,}08x = 13$
    $-0{,}05x = -7{,}8 \implies x = 156$
    Тогда $y = 260 - 156 = 104$
    Ответ: 156 г 3% и 104 г 8%.
  7. Задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен прямой $y=-13x+6{,}5$ и проходит через точку $A(-3; 5)$.
    Решение: Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Искомое уравнение: $y = -13x + b$. Подставим координаты точки $A$:
    $5 = -13(-3) + b \implies 5 = 39 + b \implies b = -34$
    Ответ: $y = -13x - 34$.
  8. Диагональ $AC$ четырёхугольника $ABCD$ делит углы $BAD$ и $BCD$ пополам. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.
    Доказательство: По условию диагональ $AC$ является биссектрисой углов $BAD$ и $BCD$. Применим теорему о биссектрисе и свойства пропорции для треугольников $ABD$ и $CBD$:
    $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD}$
    Комбинация равенств приводит к соотношению $AB \cdot CD = AD \cdot BC$, которое характерно для ортодиагональных четырёхугольников. Следовательно, диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.
Материалы школы Юайти