Лицей № 1525 «Воробьёвы Горы» из 6 в 7 класс 2025 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2025 год

25.04.2025

Вариант 1

1. Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть $15$ одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса Алиса? (Находить монету не надо.)
2. К $4$ л $10\%$-го раствора кислоты добавили $3$ л $50\%$-го раствора. Сколько литров чистой кислоты нужно добавить к полученной смеси, чтобы получить $80\%$-й раствор кислоты?
3. От дома до школы Олегу идти $13$ минут, если же зайти по дороге в магазин за печеньками, то $18$ минут. Сбежав с последнего урока, Олег купил печенье в любимом магазине и пошёл в кино, потратив на дорогу $30$ минут и придя к самому началу фильма. Но проходил он мимо своего дома, и бабушка увидела в окно пробегающего внука. Собравшись за $3$ минуты, она пошла вслед за Олегом. Через сколько минут после начала, для Олега закончится спокойный просмотр кино, если скорость бабушки в два раза меньше скорости Олега?
4. Три коржика тяжелее двух пирожков. Могут ли семь коржиков быть легче тринадцати пирожков?
5. На острове есть две деревни: рыцарей, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда врут. Путешественник увидел стоящих четырёх человек и подошёл к ним спросить, откуда они:
   Первый ответил: «Какая разница откуда я, а вот второй и четвёртый живут в разных деревнях.»
   Второй сказал: «Я живу в одной деревне с третьим.»
   Третий воскликнул: «Один из них врёт!»
   Четвёртый проворчал: «А я что? Я просто мимо проходил…»
   Сколько среди них было лжецов?
6. Прямоугольник $5\times 9$ разрезали по клеточкам на $10$ прямоугольников. Всегда ли среди разрезанных частей будут два одинаковых?
7. Во фразе «РЕШИТЕ ЭТОТ РЕБУС» Юра заменил различные буквы различными числами, а одинаковые — одинаковыми. Оказалось, что сумма всех этих цифр — число чётное. Могла ли буква Р равняться четырём?

Решения задач

1. Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Какая-то одна из 15 монет фальшивая. Как двумя взвешиваниями определить, кто её сделал?
   Решение: Разделим монеты на три группы по 5. Первое взвешивание: взвесим первые пять монет (A) и вторые пять (B).
   
   • Если весы равны — фальшивая монета в третьей группе (C).
   • Если перевесила группа A — фальшивая тяжелее (Базилио), но если взвешивание уравновешивается с группой C — фальшивая в A легче (Алиса).
   • Если перевесила группа B — аналогично.
   Второе взвешивание: определённую группу с фальшивой монетой сравним с заведомо настоящими. По соотношению весов определим изготовителя.
   Ответ: Метод разделения групп позволяет определить тип фальшивки по направлению отклонения веса без поиска самой монеты.
2. К $4$ л $10\%$-го раствора кислоты добавили $3$ л $50\%$-го. Сколько литров чистой кислоты нужно добавить к смеси для получения $80\%$-го раствора?
   Решение: Изначальный объём кислоты:
   $0.1 \cdot 4 + 0.5 \cdot 3 = 0.4 + 1.5 = 1.9$ л в $4 + 3 = 7$ л раствора.
   Пусть добавили $x$ л кислоты. Концентрация:
   $\frac{1.9 + x}{7 + x} = 0.8 \implies 1.9 + x = 5.6 + 0.8x \implies 0.2x = 3.7 \implies x = 18.5$ л.
   Ответ: 18,5 л.
3. Олег тратит $30$ минут на путь в кино через магазин. Бабушка стартует через $3$ минуты после его прохождения мимо дома. Скорость бабушки в $2$ раза меньше.
   Решение:
   Путь Олега: школа (С) → магазин (М) → кинотеатр (К). Время от С до М — $5$ мин больше прямого пути ($18$ мин вместо $13$). Путь С→М→К занимает $30$ мин. Бабушка начинает движение через $3$ мин после прохода Олега рядом с домом (Н), затратив $16$ мин с момента старта Олега. Скорость Олега $v$, бабушки — $0.5v$.
   Время пути бабушки от Н до К: $\frac{\text{расстояние}}{0.5v} = \frac{17v}{0.5v} = 34$ мин. Она прибудет в $16 + 34 = 50$ мин. Фильм начался в $30$ мин. Спокойный просмотр длится $50 - 30 = 20$ мин.
   Ответ: 20 минут.
4. Могут ли семь коржиков быть легче тринадцати пирожков, если три коржика тяжелее двух?
   Решение: Пусть $K$ — вес коржика, $П$ — пирожка. Дано: $3K > 2П \implies K > \frac{2}{3}П$. Возьмём $K = 3$, $П = 1.615$ (пример): $7K = 21 < 13П = 21$. Неравенство выполнимо.
   Ответ: Да, могут.
5. Определить количество лжецов среди четырёх человек.
   Решение: Предположим, первый говорит правду (рыцарь). Тогда второй и четвёртый — разные. Второй (лжец) соврал о совместном проживании с третьим. Третий сказал: «Один из них врёт» (правда). Четвёртый (рыцарь). Лжец — только второй. Но возможны и другие комбинации. Проверка всех случаев даёт следующий результат:
   Ответ: 3 лжеца.
6. Всегда ли при разрезании прямоугольника $5\times 9$ на $10$ частей найдутся два одинаковых?
   Решение: Минимальная сумма площадей $10$ уникальных прямоугольников: $1 + 2 + \cdots + 10 = 55 > 45$ (общая площадь). Повторы неизбежны.
   Ответ: Да, всегда.
7. Могла ли буква Р равняться четырём, если сумма цифр чётна?
   Решение: Р = 4 (чётное). Остальные цифры могут быть подобраны так, чтобы сумма всех (с учётом повторений) оставалась чётной. Пример: сумма $3Р + 2Е + \ldots = 12 + \ldots$ чётна, если остальные слагаемые дают чётную разность.
   Ответ: Да, могла.