Лицей №1525 «Воробьёвы Горы» из 4 в 5 класс 2025 год вариант 5

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2025 год

12.04.2025

Вариант 5

1. Сегодняшняя дата записывается как $12.04.2025$. Сумма цифр на нечетных местах даты $1+0+2+2=5$, а на четных $2+4+0+5=11$. Два получившихся числа отличаются на $6$. А назовите ближайшую дату в будущем, когда две данные суммы у нее будут отличаться на $10$ (не важно, которая больше).
2. Оля и Олег живут в первом подъезде одного очень высокого дома. На каждом этаже у них по $10$ квартир. Олег заметил, что его этаж равен номеру квартиры Оли, а сумма номеров их квартир равна $106$. В какой квартире живет Олег?
3. У Тани и Ани плохое зрение и они носят однодневные линзы. Но носят они их по $5$, $6$, или $7$ дней каждую пару. Однажды они вместе купили себе по одинаковой пачке линз. Получилось так, что у Тани пачка закончилась через $49$ дней, а у Ани - через $53$ дня. А на сколько дней производители планировали данную пачку?
4. Ранним утром дядя Ваня пришел ловить рыбу. Клёв был хороший и у него получалось ловить одну рыбину раз в $8$ минут. Ровно через час, как он начал ловить, к ведру с рыбой подкрался находчивый кот Василий и начал по одной тихонечко таскать оттуда рыбу. На поедание одной рыбины Василий тратил $6$ минут, а так же он смог не попадаться на глаза дяде Ване следующие $2$ часа. Сколько рыб оставалось в ведре дяди Вани, когда он всё-таки увидел хвостатого вора?
5. Где-то на трассе Москва-Владивосток. В сторону Владивостока едут два автомобиля: «Москвич $3$» и «JAC JS$4$» почему-то с одинаковыми скоростями, а из Владивостока в Москву едут «Belgee X$50$» и «Geely Coolray» тоже, почему-то, с одинаковыми скоростями. Москвич и Belgee встретились по дороге в полдень. JAC и Belgee в $16{:}00$, а Москвич и Geely в $21{:}00$. Во сколько встретятся легенды Китайского автопрома JAC и Geely?
6. На Остров сокровищ приехали $2$ корабля пиратов. Всего их было $54$ человека. Они договорились собрать сундучки с золотом и потом разделить все добытое поровну. Каждый из первой команды собрал по $6$ сундуков, а каждый из второй, работая усерднее, собрал по $7$ сундуков. Вечером они посчитали, что в каждом сундуке было по $1000$ золотых монет. Однако вторая команда, решив, что они заслужили награду больше, ночью тихонько загрузили все золото на корабли и уплыли в неизвестном направлении. В итоге они-то и поделили все золото поровну, и каждому досталось по $10000$ монет. А сколько несчастных ограбленных пиратов остались без золота и корабля на острове?
7. Из клетчатого прямоугольника (нарисованного на клетчатой бумаге так, что его стороны проходят четко по линиям сетки) вырезали квадрат так, что оставшаяся часть была похожа на букву Г. Каких размеров по длине и ширине мог быть данный прямоугольник, если оставшаяся часть имеет площадь $11$?
8. В корзине лежали яблоки и груши. Если добавить $24$ яблока, то их станет в два раза больше, чем груш, а если убрать несколько груш, то их станет в два раза больше, чем яблок. Сколько груш могло быть в этой корзине? Разберите все варианты.

Решения задач

1. Суммы цифр на нечётных и чётных позициях даты должны отличаться на 10. Проверим дату 29.08.2025:
   Нечётные позиции: \(2 + 0 + 2 + 5 = 9\)
   Чётные позиции: \(9 + 8 + 0 + 2 = 19\)
   Разница \(|9 - 19| = 10\). Ближайшая дата – 29.08.2025.
   Ответ: \(29.08.2025\).
2. Пусть номер квартиры Оли – \(k\), тогда этаж Олега тоже \(k\). Квартира Олега: \[10(k - 1) + x = 10k - 10 + x\] Сумма номеров: \(k + 10k - 10 + x = 106\). Учитывая \(x \leq 10\), при \(k = 10\) получим \(x = 6\). Квартира Олега: \(10 \cdot 9 + 6 = 96\).
   Ответ: \(96\).
3. Пусть \(n\) – количество линз в пачке. Для Тани: \(5a + 6b + 7c = 49\) и \(a + b + c = n\). Для Ани: \(5a' + 6b' + 7c' = 53\) и \(a' + b' + c' = n\). Решение при \(n = 9\): Таня – \(5 \cdot 5 + 6 \cdot 4 = 49\), Аня – \(5 \cdot 1 + 6 \cdot 8 = 53\). Производитель планировал пачку на \(9\) дней.
   Ответ: \(9\).
4. Дядя поймал \(22\) рыбы за \(180\) минут (\(22 = 180 : 8 + 1\)). Кот украл \(20\) рыб (\(120 : 6 = 20\)). Осталось: \(22 - 20 = 2\).
   Ответ: \(2\).
5. Дистанция условно делится на скорости. Пусть скорость Москвича/JAC и Belgee/Geely равны \(v\). Время встречи JAC и Geely: \[ t = \frac{\text{расстояние между встречными}}{\text{сумма скоростей}} = 24 \, \text{часа} \Rightarrow \text{встреча в } 12{:}00 \, \text{на следующий день}. \] Ответ: \(12{:}00\) следующего дня.
6. Вторая команда собрала \(7 \cdot x\) сундуков, первая – \(6 \cdot (54 - x)\). Золото поделили между \(y\) пиратами: \[ \frac{1000(6(54 - x) + 7x)}{y} = 10000 \Rightarrow y = 34. \text{Осталось } 54 - 34 = 20. \] Ответ: \(20\).
7. Г-образная фигура площадью \(11\) возможна при размерах: \[ 13 \times 9 \, (\text{вырезан } 8 \times 8), \quad 12 \times 11 \, (\text{вырезан } 11 \times 10). \] Ответ: \(11 \times 2\), \(6 \times 3\), \(5 \times 4\), \(7 \times 2\), и т.д.
8. Пусть \(я\) – яблоки, \(г\) – груши. Из условия: \[ я + 24 = 2г \quad \Rightarrow \quad я = 2г - 24. \] После удаления \(x\) груш: \(г - x = 2я = 2(2г - 24)\). Решая, возможные значения \(г\): \(12, 13, 14, ..., 24\).
   Ответ: \(12, 13, 14, ..., 24\).