Лицей №95 г. Сочи из 7 в 8 класс 2016 год вариант 10

ЛИЦЕЙ №95 Г. СОЧИ

2016 год

Вариант 10

1. Вычислить:
   1. $\frac{1,8^{2}-0,6^{2}}{0,6 \cdot 4,8-4,8}$
   2. $\frac{0,45-0,45 \cdot 3,4}{-1 \frac{1}{2}+1,1} ;$ в) $0,9+0,1:\left(\frac{5}{36}+12 \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{6}-2,3\right) .$
2. Найдите значение выражения:
   1. $\frac{d^{3} d^{5}}{\left(d^{2}\right)^{3}}$ при $d=-10 ;$
   2. $2(0,3 a-1)-\frac{2}{5}(3 a-5)$ при $a=-\frac{1}{3}$.
3. Разложить на множители:
   1. $5 a y-3 b x+a x-15 b y ;$
   2. $x^{2} y^{2}-4 x y-20 y-25 y^{2}$;
   3. $x^{3}-5 x^{2} y-5 x y^{2}+y^{3}$.
4. Решить уравнение:
   1. $4(x-0,5)-2(x+0,3)=-2,6 ;$
   2. $0,5(8 x-3)=-4(2,5-x) ;$
   3. $\frac{5 x-1}{4}-\frac{1-3 x}{2}=\frac{x-2}{16}$.
5. Упростите выражение:
   1. $x(1-2 x)-(x-3)(x+3)+3 x^{2} ;$
   2. $x^{2}(3-x)-\left(2-x^{2}\right)(x+1)-4 x^{2}$.
6. Задача.
   1. Лодка шла по течению реки 2,4 ч и против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.
   2. В первом мешке было 50 кг сахара, а во втором 80 кг. Из второго мешка взяли в 3 раза больше чем у первого, и тогда в первом мешке сахара осталось вдвое больше чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?
   3. В школьной библиотеке 5780 учебников, что составляет $85 \%$ всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?

Решения задач

1. 1. Вычислить: $\frac{1,8^{2}-0,6^{2}}{0,6 \cdot 4,8-4,8}$
      Решение:
      Числитель: $1,8^{2} - 0,6^{2} = (1,8 - 0,6)(1,8 + 0,6) = 1,2 \cdot 2,4 = 2,88$
      Знаменатель: $0,6 \cdot 4,8 - 4,8 = 4,8(0,6 - 1) = 4,8 \cdot (-0,4) = -1,92$
      Результат: $\frac{2,88}{-1,92} = -1,5$
      Ответ: $-1,5$.
      
      
   2. Вычислить: $\frac{0,45-0,45 \cdot 3,4}{-1 \frac{1}{2}+1,1}$
      Решение:
      Числитель: $0,45(1 - 3,4) = 0,45 \cdot (-2,4) = -1,08$
      Знаменатель: $-1,5 + 1,1 = -0,4$
      Результат: $\frac{-1,08}{-0,4} = 2,7$
      Ответ: $2,7$.
      
      
   3. Вычислить: $0,9+0,1:\left(\frac{5}{36}+12 \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{6}-2,3\right)$
      Решение:
      Внутри скобок: $\frac{5}{36} + \frac{187}{15} \cdot \frac{1}{6} - 2,3 = \frac{5}{36} + \frac{187}{90} - \frac{23}{10} = \frac{25}{180} + \frac{374}{180} - \frac{414}{180} = -\frac{15}{180} = -\frac{1}{12}$
      Деление: $0,1 : \left(-\frac{1}{12}\right) = -1,2$
      Итог: $0,9 + (-1,2) = -0,3$
      Ответ: $-0,3$.
   
   
   
2. 1. Упростить выражение: $\frac{d^{3} d^{5}}{\left(d^{2}\right)^{3}}$ при $d=-10$
      Решение:
      Упрощение: $\frac{d^{8}}{d^{6}} = d^{2}$
      Подстановка: $(-10)^{2} = 100$
      Ответ: $100$.
      
      
   2. Упростить: $2(0,3 a-1)-\frac{2}{5}(3 a-5)$ при $a=-\frac{1}{3}$
      Решение:
      Раскрытие скобок: $0,6a - 2 - \frac{6a}{5} + 2 = -0,6a$
      Подстановка: $-0,6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 0,2$
      Ответ: $0,2$.
   
   
   
3. 1. Разложить на множители: $5 a y-3 b x+a x-15 b y$
      Решение:
      Группировка: $(5ay + ax) + (-3bx - 15by) = a(5y + x) - 3b(x + 5y) = (5y + x)(a - 3b)$
      Ответ: $(5y + x)(a - 3b)$.
      
      
   2. Разложить на множители: $x^{2} y^{2}-4 x y-20 y-25 y^{2}$
      Решение:
      Группировка: $y^{2}(x^{2} - 25) - 4y(x + 5) = y(x + 5)(y(x - 5) - 4)$
      Ответ: $y(x + 5)(xy - 5y - 4)$.
      
      
   3. Разложить на множители: $x^{3}-5 x^{2} y-5 x y^{2}+y^{3}$
      Решение:
      Группировка: $(x^{3} + y^{3}) - 5xy(x + y) = (x + y)(x^{2} - xy + y^{2} - 5xy) = (x + y)(x^{2} - 6xy + y^{2})$
      Ответ: $(x + y)(x^{2} - 6xy + y^{2})$.
   
   
   
4. 1. Решить уравнение: $4(x-0,5)-2(x+0,3)=-2,6$
      Решение:
      Раскрытие скобок: $4x - 2 - 2x - 0,6 = -2,6$
      Упрощение: $2x - 2,6 = -2,6 \Rightarrow x = 0$
      Ответ: $0$.
      
      
   2. Решить уравнение: $0,5(8 x-3)=-4(2,5-x)$
      Решение:
      Раскрытие скобок: $4x - 1,5 = -10 + 4x$
      Упрощение: $-1,5 = -10$ (нет решения)
      Ответ: Нет корней.
      
      
   3. Решить уравнение: $\frac{5 x-1}{4}-\frac{1-3 x}{2}=\frac{x-2}{16}$
      Решение:
      Умножение на 16: $4(5x - 1) - 8(1 - 3x) = x - 2$
      Раскрытие скобок: $20x - 4 - 8 + 24x = x - 2$
      Упрощение: $44x - 12 = x - 2 \Rightarrow x = \frac{10}{43}$
      Ответ: $\frac{10}{43}$.
   
   
   
5. 1. Упростить выражение: $x(1-2 x)-(x-3)(x+3)+3 x^{2}$
      Решение:
      Раскрытие скобок: $x - 2x^{2} - (x^{2} - 9) + 3x^{2} = x + 9$
      Ответ: $x + 9$.
      
      
   2. Упростить выражение: $x^{2}(3-x)-\left(2-x^{2}\right)(x+1)-4 x^{2}$
      Решение:
      Раскрытие скобок: $3x^{2} - x^{3} - (2x + 2 - x^{3} - x^{2}) - 4x^{2} = -2x - 2$
      Ответ: $-2x - 2$.
   
   
   
6. 1. Задача о лодке:
      Решение:
      Пусть скорость лодки $v$ км/ч. Тогда:
      $2,4(v + 3,5) - 3,2(v - 3,5) = 13,2$
      Решение: $v = 8$
      Ответ: 8 км/ч.
      
      
   2. Задача о мешках с сахаром:
      Решение:
      Пусть из первого взяли $x$ кг, тогда из второго $3x$ кг:
      $50 - x = 2(80 - 3x) \Rightarrow x = 22$
      Ответ: 22 кг и 66 кг.
      
      
   3. Задача о библиотеке:
      Решение:
      Всего книг: $\frac{5780}{0,85} = 6800$
      Ответ: 6800.