Лицей №5 из 9 в 10 класс 2021 вариант 1

1. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат, и делящей площадь четырехугольника с вершинами \(A(0;1)\), \(B(0;2)\), \(C(4;2)\), \(D(4;1)\) пополам.
   
   
2. При каких значениях параметра \(a\) разность корней уравнения \[ x^2 - (a^2 - a)\,x - a^3 = 0 \] равна 2?
   
   
3. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты в каждом растворе?
   
   
4. Из точки \(N\) на стороне \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) опущен перпендикуляр \(NP\) на сторону \(AB\). Окружность, описанная около треугольника \(BNP\), касается прямой \(AN\). Найдите радиус окружности, если периметр треугольника \(ABC\) равен 3.
   
   
5. Разность между седьмым и первым членами геометрической прогрессии равна 21, а разность между пятым и третьим членами прогрессии равна 6. Найдите разность между одиннадцатым и девятым членами прогрессии.
   
   
6. На доске написано число 2000. Петя и Коля по очереди делят число, написанное на доске, на любое из следующих трех чисел: 2, 5, 10. Проигрывает тот из них, после хода которого на доске появится нецелое число. Петя ходит первым. Кто выигрывает при правильной игре?

Решения задач

1. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат, и делящей площадь четырехугольника с вершинами \(A(0;1)\), \(B(0;2)\), \(C(4;2)\), \(D(4;1)\) пополам. Решение: Четырехугольник ABCD — прямоугольник с высотой 1 и длиной основания 4. Площадь равна \(4 \cdot 1 = 4\). Прямая должна делить площадь пополам, значит, площадь под прямой должна быть 2. Искомая прямая проходит через начало координат и середины отрезков \(AB\) и \(CD\). Средние точки отрезков \(AB\) и \(CD\) имеют координаты \((0; 1,5)\) и \((4; 1,5)\). Уравнение горизонтальной прямой \(y = 1,5\) не проходит через начало. Рассмотрим прямую \(y = kx\), пересекающую сторону \(BC\) в точке \((x; 2)\) и сторону \(AD\) в точке \((x; 1)\). Площадь трапеции под прямой должна быть 2: \[ \frac{(2 + (kx + 1)) \cdot x}{2} = 2 \quad \text{с учетом границ}. \] Решая, находим \(k = \frac{3}{8}\). Ответ: \(y = \dfrac{3}{8}x\).
   
   
2. При каких значениях параметра \(a\) разность корней уравнения \(x^2 - (a^2 - a)x - a^3 = 0\) равна 2? Решение: Пусть корни \(x_1\) и \(x_2\), тогда: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = a^2 - a, \\ x_1 x_2 = -a^3. \end{cases} \] Разность корней \(|x_1 - x_2| = 2\). Квадрат разности: \[ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (a^2 - a)^2 + 4a^3 = 4. \] Раскрывая скобки: \[ a^4 + 2a^3 + a^2 - 4 = 0. \] Факторизуем: \[ (a^2 + a - 2)(a^2 + a + 2) = 0. \] Решая \(a^2 + a - 2 = 0\), находим \(a = 1\) и \(a = -2\). Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют условию. Ответ: \(a = 1\) и \(a = -2\).
   
   
3. Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты в каждом растворе? Решение: Пусть в первом сосуде \(x\) кг кислоты, во втором — \(y\) кг: \[ \begin{cases} \dfrac{x + y}{65} = 0,46 \Rightarrow x + y = 29,9, \\ \dfrac{0,5x / 30 + 0,5y / 35}{1} = 0,47 \Rightarrow 7x + 6y = 197,4. \end{cases} \] Решая систему, находим \(x = 18\), \(y = 11,9\). Ответ: 18 кг и 11,9 кг.
   
   
4. Из точки \(N\) на стороне \(BC\) равностороннего треугольника \(ABC\) опущен перпендикуляр \(NP\) на сторону \(AB\). Окружность, описанная около треугольника \(BNP\), касается прямой \(AN\). Найдите радиус окружности, если периметр треугольника \(ABC\) равен 3. Решение: Сторона треугольника \(ABC\) равна 1. Координаты точек: \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0,5; \sqrt{3}/2)\). Точка \(N\) на \(BC\) параметризована как \(N(0,5 + 0,5t; \sqrt{3}t/2)\). Перпендикуляр \(NP\) на \(AB\) приводит к координате \(P(0,5 + 0,5t; 0)\). Уравнение окружности через \(B\), \(N\), \(P\) касается \(AN\). Решая аналитически, радиус окружности равен \(\sqrt{3}/6\). Ответ: \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\).
   
   
5. Разность между седьмым и первым членами геометрической прогрессии равна 21, а разность между пятым и третьим членами прогрессии равна 6. Найдите разность между одиннадцатым и девятым членами прогрессии. Решение: Пусть \(b_1 = a\), знаменатель \(q\): \[ \begin{cases} aq^6 - a = 21, \\ aq^4 - aq^2 = 6. \end{cases} \] Решая уравнения, находим \(q^2 = 2\) и \(a = 3\). Разность \(b_{11} - b_9 = aq^{10} - aq^8 = 3 \cdot 2^4 = 48\). Ответ: 48.
   
   
6. На доске написано число 2000. Петя и Коля по очереди делят число на 2, 5 или 10. Проигрывает тот, после чьего хода число становится нецелым. Петя ходит первым. Кто выигрывает при правильной игре? Решение: Число 2000 = \(2^4 \cdot 5^3\). Каждый ход уменьшает степени 2 или 5. Сумма степеней исходно 7 (нечётная). Петя может сделать сумму чётной, взяв степень 2 или 5 на 1. Далее Коля вынужден оставлять нечётную сумму, пока не останется дробное число. Петя выигрывает. Ответ: Петя.