Лицей №5 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

1. Упростите выражение \[ \biggl(2\Bigl(\frac{a^3 - b^3}{a - b} - \frac{a^3 + b^3}{a + b}\Bigr) + a^2 + 4b^2\biggr) \;:\;(a^2 - 4b^2)\;-\;\frac{4b}{a - 2b}. \]
   
   
2. В строку выписали друг за другом без запятых все числа от 1 до 10000: \[ 123456789101112\ldots9998999910000. \] Сколько чисел 2017 при этом образованы четверками подряд идущих цифр?
   
   
3. Автомобиль выехал в 10:00 из города \(A\) в город \(B\). Проехав ровно треть пути, автомобиль увеличил скорость на 20% и поэтому прибыл в город \(B\) на 20 минут раньше, чем планировал. Во сколько он приехал в город \(B\)?
   
   
4. На сторонах \(AB\), \(BC\), \(CA\) треугольника \(ABC\) выбраны соответственно точки \(M\), \(N\), \(K\). Оказалось, что четырехугольник \(KMNC\) — квадрат, а прямая \(AN\) делит отрезок \(KM\) пополам. Найдите углы треугольника \(ABC\).
   
   
5. Сумма пяти чисел равна 10000. Может ли их произведение оканчиваться на 2017?
   
   
6. В темной комнате лежит небольшой мешок с яблоками. Среди 10 человек часть — рыцари (они всегда говорят правду), часть — лжецы (они всегда лгут). Первый из них зашел в комнату, заглянул в мешок и сказал: «В мешке больше 1 яблока», после чего взял одно яблоко и вышел из комнаты. Потом зашел второй, и, заглянув в мешок, сказал, что в нем больше двух яблок. Затем взял яблоко и вышел. И так далее. Последний сказал, что в мешке больше 10 яблок, взял одно и вышел. Какое наибольшее число лжецов могло быть среди этих 10 человек?

Решения задач

1. Упростите выражение \[ \biggl(2\Bigl(\frac{a^3 - b^3}{a - b} - \frac{a^3 + b^3}{a + b}\Bigr) + a^2 + 4b^2\biggr) \;:\;(a^2 - 4b^2)\;-\;\frac{4b}{a - 2b}. \] Решение: Упростим числитель: \[ \frac{a^3 - b^3}{a - b} = a^2 + ab + b^2; \quad \frac{a^3 + b^3}{a + b} = a^2 - ab + b^2. \] Разность этих дробей: \[ a^2 + ab + b^2 - (a^2 - ab + b^2) = 2ab. \] Умножим на 2: \[ 2 \cdot 2ab = 4ab. \] Прибавим \(a^2 + 4b^2\): \[ 4ab + a^2 + 4b^2 = (a + 2b)^2. \] Знаменатель \(a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)\). \[ \frac{(a + 2b)^2}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a + 2b}{a - 2b}. \] Вычитаем \(\frac{4b}{a - 2b}\): \[ \frac{a + 2b}{a - 2b} - \frac{4b}{a - 2b} = \frac{a - 2b}{a - 2b} = 1. \] Ответ: 1.
   
   
2. В строку выписали числа от 1 до 10000. Сколько раз образовано число 2017 подряд идущими цифрами? Решение: Число 2017 встречается в строке один раз — как часть числа 2017. Переходы между числами не могут образовать 2017, так как смена чисел происходит по возрастанию, а числа меньше 10000 не содержат сочетания цифр "2017" в других позициях. Ответ: 1.
   
   
3. Автомобиль выехал в 10:00 из города \(A\) в город \(B\). Проехав треть пути, увеличил скорость на 20\%, прибыл на 20 минут раньше. Во сколько прибыл? Решение: Пусть расстояние \(S\). Плановое время \(T = \frac{S}{v}\). Первая треть пути: время \(\frac{S}{3v}\). Оставшиеся \(\frac{2S}{3}\) проехал со скоростью \(1.2v\) за время \(\frac{2S}{3 \cdot 1.2v} = \frac{S}{1.8v}\). Фактическое время: \(\frac{S}{3v} + \frac{S}{1.8v} = \frac{8S}{9v} = \frac{8}{9}T\). Разница \(\frac{T}{9} = 20\) мин \(\Rightarrow T = 180\) мин (3 часа). Прибыл в \(13:00 - 20\) минут = \(12:40\). Ответ: в 12:40.
   
   
4. В треугольнике \(ABC\) на сторонах \(AB\), \(BC\), \(CA\) выбраны точки \(M\), \(N\), \(K\). Четырёхугольник \(KMNC\) — квадрат, прямая \(AN\) делит \(KM\) пополам. Найдите углы треугольника \(ABC\). Решение: Так как \(KMNC\) — квадрат, стороны \(KM\), \(MN\), \(NC\), \(CK\) равны. Прямая \(AN\) делит \(KM\) пополам, треугольник \(ABC\) прямоугольный с катетами \(AC\) и \(BC\), равными по длине. Углы: \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle A = \angle B = 45^\circ\). Ответ: \(90^\circ\), \(45^\circ\), \(45^\circ\).
   
   
5. Может ли произведение пяти чисел, сумма которых равна 10000, оканчиваться на 2017? Решение: Произведение оканчивается на 2017, следовательно, должно быть нечётным и сравнимо с 1 по модулю 16. Но сумма пяти чисел чётна (10000), значит, среди них есть чётное число, что делает произведение чётным. Противоречие. Ответ: Нет.
   
   
6. Среди 10 человек нужно определить наибольшее число лжецов. Каждый утверждает «В мешке больше \(i\) яблок», берёт одно и уходит. Решение: Максимальное число лжецов — 9. Первый человек может быть рыцарем (\(N \geq 2\)), тогда остальные лжецы утверждали бы ложь при минимальном начальном количестве яблок. Рассуждение основано на соблюдении условий для лжецов при минимальном \(N\). Ответ: 9.