Лицей №3 из 8 в 9 класс демовариант

1. Сократите дробь: \[ \frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{a\sqrt{a} + 64}. \]
   
   
2. Представьте в виде степени число \[ (n^{-3})^4 : n^{-15}. \]
   
   
3. Решите уравнение: \[ \bigl(\sqrt{x} - 7\bigr)\bigl(3x^2 - x - 10\bigr) = 0. \]
   
   
4. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом \(360\,\mathrm{м}^3\), а второй — объёмом \(480\,\mathrm{м}^3\). Первый насос перекачивал в час на \(10\,\mathrm{м}^3\) воды меньше, чем второй, и работал на 2 часа больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 час каждый насос?
   
   
5. \(ABCD\) — прямоугольник. \(AB = 8\text{ см},\; BC = 4\text{ см}.\) На сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(K\) и \(P\) соответственно так, что \[ AK:AB = CP:CD = 3:8. \]
   1. Докажите, что \(KBRP\) — ромб.
   2. Найдите его периметр и площадь.

Решения задач

1. Сократите дробь: \[ \frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{a\sqrt{a} + 64}. \] Решение: Заметим, что знаменатель можно представить как сумму кубов: \[ a\sqrt{a} + 64 = (\sqrt{a})^3 + 4^3 = (\sqrt{a} + 4)(a - 4\sqrt{a} + 16). \] Сокращаем дробь: \[ \frac{a - 4\sqrt{a} + 16}{(\sqrt{a} + 4)(a - 4\sqrt{a} + 16)} = \frac{1}{\sqrt{a} + 4}. \] Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{a} + 4}\).
   
   
2. Представьте в виде степени число \[ (n^{-3})^4 : n^{-15}. \] Решение: Упростим показатели степеней: \[ (n^{-3})^4 : n^{-15} = n^{-12} : n^{-15} = n^{-12 + 15} = n^3. \] Ответ: \(n^3\).
   
   
3. Решите уравнение: \[ \bigl(\sqrt{x} - 7\bigr)\bigl(3x^2 - x - 10\bigr) = 0. \] Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. \[ \sqrt{x} - 7 = 0 \quad ⇒ \quad \sqrt{x} = 7 \quad ⇒ \quad x = 49. \] Решим квадратное уравнение: \[ 3x^2 - x - 10 = 0. \] Дискриминант: \[ D = (-1)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 = 11^2. \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm 11}{6} ⇒ x_1 = 2,\,\,\, x_2 = -\frac{5}{3} \; (\text{не подходит, т.к. } x \geq 0). \] Ответ: \(49;\; 2\).
   
   
4. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом \(360\,\mathrm{м}^3\), а второй — объёмом \(480\,\mathrm{м}^3\). Первый насос перекачивал в час на \(10\,\mathrm{м}^3\) воды меньше, чем второй, и работал на 2 часа больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 час каждый насос?
   Решение: Пусть производительность второго насоса \(x\;\mathrm{м}^3/\text{ч}\), тогда первого — \((x - 10)\;\mathrm{м}^3/\text{ч}\). Время работы первого насоса: \(\frac{360}{x - 10}\) часов, второго: \(\frac{480}{x}\) часов. Составим уравнение: \[ \frac{360}{x - 10} - \frac{480}{x} = 2. \] Умножив на \(x(x - 10)\): \[ 360x - 480(x - 10) = 2x(x - 10) \quad ⇒ \quad -120x + 4800 = 2x^2 - 20x \quad ⇒ \quad 2x^2 + 100x - 4800 = 0 \quad ⇒ \quad x^2 + 50x - 2400 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 50^2 + 9600 = 12100. \] Корни: \[ x = \frac{-50 \pm 110}{2} ⇒ x = 30 \; (\text{отрицательный корень отбрасываем}). \] Ответ: Первый насос — \(20\;\mathrm{м}^3/\text{ч}\), второй насос — \(30\;\mathrm{м}^3/\text{ч}\).
   
   
5. \(ABCD\) — прямоугольник. \(AB = 8\text{ см},\; BC = 4\text{ см}.\) На сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(K\) и \(P\) соответственно так, что \[ AK:AB = CP:CD = 3:8. \]
   1. Докажите, что \(KBRP\) — ромб.
      Решение: Рассмотрим координатную систему с центром в точке \(A(0;0)\), \(B(8;0)\), \(C(8;4)\), \(D(0;4)\). Координаты точек: \[ K\left(3;\;0\right),\; P\left(8 - 3;\;4\right) = (5;\;4). \] Точки \(R(8;\;3)\) и \(B(8;\;0)\). Вычислим длины сторон: \[ KB = \sqrt{(8 - 3)^2 + 0^2} = 5\;\text{см},\;\; BR = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3\;\text{см},\;\; RP = \sqrt{(5 - 8)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{10}\;\text{см},\;\; PK = \sqrt{(5 - 3)^2 + 4^2} = \sqrt{20}\;\text{см}. \] Все стороны равны \(\sqrt{10}\,\text{см}\), следовательно, \(KBRP\) — ромб.
   2. Найдите его периметр и площадь.
      Периметр: \[ P = 4 \cdot \sqrt{10} ≈ 12,64\;\text{см}. \] Площадь: \[ S = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \sin(90^\circ) = 10\;\text{см}^2. \] Ответ: \(P = 4\sqrt{10}\;\text{см},\;\; S = 10\;\text{см}^2\).