Лицей №239 из 9 в 10 класс 2024 год вариант 2

Лицей 239

2024 год

Вариант 2

1. Вычислите: \[ \frac{5 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[3]{192}} + 7 \cdot \sqrt[3]{18 \cdot \sqrt[3]{81}}} {\sqrt[3]{12 \cdot \sqrt[3]{24}} + 6 \cdot \sqrt[3]{375}}. \]
   
   
2. Упростите: \[ \frac{a^2 + a^{\tfrac12}}{a^2 + 1} \;\cdot\; \frac{a^{\tfrac12} - 1}{a^2 - a + a^{\tfrac12}}. \]
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5}. \]
   
   
4. Решите уравнение: \[ \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}. \]
   
   
5. Решите неравенство: \[ \frac{(x - x^2)\,(3x^2 + 15x)}{(2x - 7)^3} \ge 0. \]
   
   
6. Решите неравенство: \[ \left|\frac{2x + 1}{x - 1}\right| > 2. \]
   
   
7. Известно, что сумма квадратов корней уравнения \( x^2 - 3x + q = 0 \) равна $2249$. Найдите корни уравнения и значение $q$.
   
   
8. Постройте график функции \(y = f(x)\), где \[ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{x}, & x \le -1,\\[6pt] -x, & -1 1. \end{cases} \] При каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком этой функции три общие точки?
   
   
9. \(f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 8} - x - 2\). Найдите координаты всех точек графика заданной функции, равноудалённых от осей координат.
   
   
10. Цифры трёхзначного числа образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
    
    
11. Доля брака в партии изделий составляла $9\%$. На стадии контроля качества удалось выявить и изъять из партии 40 бракованных изделий. Сколько изделий осталось в партии, если доля брака в ней составляет теперь $2{,}5\%$?
    
    
12. 1. Сколько существует двузначных чисел, все цифры которых нечётные и не повторяются?
    2. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные и могут повторяться?
    
    
    
13. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равна 5.
    
    
14. Два велосипедиста выезжают одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. После их встречи первый прибывает в пункт $B$ через 48 минут, а второй — в пункт $A$ через 27 минут. Сколько времени прошло от начала движения велосипедистов до их встречи, если они двигались с постоянными скоростями?
    
    
15. На сторонах прямого угла с вершиной $B$ выбраны точки $A$ и $C$ так, что $AB:CB = 4:3$. На биссектрисе угла $\angle ABC$ взята точка $K$, равноудалённая от $A$ и $C$. Найдите $AC$, если $BK = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}$.
    
    
16. Диагонали трапеции равны 10 см и 24 см, а основания равны 7 см и 19 см. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали трапеции.
    
    
17. Круги радиусов 5, 6 и 9 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
    
    
18. В $\triangle ABC$: $AB = 3$, $BC = 5$, $CA = 7$, $O$ — центр вписанной окружности. Разложите вектор $\overrightarrow{CO}$ по векторам $\mathbf b = \overrightarrow{AB}$ и $\mathbf c = \overrightarrow{AC}$.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{5 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[3]{192}} + 7 \cdot \sqrt[3]{18 \cdot \sqrt[3]{81}}} {\sqrt[3]{12 \cdot \sqrt[3]{24}} + 6 \cdot \sqrt[3]{375}}. \] Решение: Упростим каждое подкоренное выражение: \[ \begin{aligned} \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[3]{192}} &= \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[3]{64 \cdot 3}} = \sqrt[3]{4 \cdot 4 \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} = 2^{\tfrac43} \cdot 3^{\tfrac19}, \\ \sqrt[3]{18 \cdot \sqrt[3]{81}} &= \sqrt[3]{18 \cdot 3} = \sqrt[3]{54} = 3 \cdot \sqrt[3]{2}, \\ \sqrt[3]{12 \cdot \sqrt[3]{24}} &= \sqrt[3]{12 \cdot 2 \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} = 2 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 3^{\tfrac19}, \\ \sqrt[3]{375} &= 5 \cdot \sqrt[3]{3}. \end{aligned} \] Подставив обратно и упростив, получим: \[ \frac{5 \cdot 2^{\tfrac43} \cdot 3^{\tfrac19} + 7 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{2}}{2 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 3^{\tfrac19} + 6 \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{5 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2} + 21 \cdot \sqrt[3]{2}}{2 \cdot \sqrt[3]{3} + 30 \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{(10 + 21)\sqrt[3]{2}}{32 \sqrt[3]{3}} = \frac{31}{\sqrt[3]{2^5 \cdot 3^{-5}}}. \] Ответ: $\frac{31}{6}$.
   
   
2. Упростите: \[ \frac{a^2 + a^{\tfrac12}}{a^2 + 1} \;\cdot\; \frac{a^{\tfrac12} - 1}{a^2 - a + a^{\tfrac12}}. \] Решение: Произведём замену $t = a^{\tfrac12}$: \[ \frac{t^4 + t}{t^4 + 1} \cdot \frac{t - 1}{t^4 - t^2 + t} = \frac{t(t^3 + 1)}{t^4 + 1} \cdot \frac{t - 1}{t(t^3 - t + 1)} = \frac{(t + 1)(t - 1)}{t^4 + 1} = \frac{t^2 - 1}{t^4 + 1}. \] Ответ: $\frac{a - 1}{a^2 + 1}$.
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5}. \] Решение: Приведём к общему знаменателю и преобразуем: \[ \frac{x + 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x - 5)}{x - 5} \implies x + 4 = (x - 2)^2 \implies x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0. \] С учётом ОДЗ: $x = 0$. Ответ: $x = 0$.
   
   
4. Решите уравнение: \[ \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2x + 3\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}. \] Решение: Замена $t = \sqrt{x}$ ($t \geq 0$, $t \neq 1$): \[ \frac{2t + 1}{t - 1} = \frac{2t^2 + 3t + 1}{t} \implies (2t + 1)t = (2t + 1)(t + 1)(t - 1). \] Сократим на $2t + 1$ при $t \neq -\tfrac12$: \[ t = (t + 1)(t - 1) \implies t = t^2 - 1 \implies t^2 - t - 1 = 0 \implies t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. \] Учитывая $t \geq 0$, ответ: $x = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
   
   
5. Решите неравенство: \[ \frac{(x - x^2)\,(3x^2 + 15x)}{(2x - 7)^3} \ge 0. \] Решение: Разложим на множители: \[ \frac{x(1 - x) \cdot 3x(x + 5)}{(2x - 7)^3} \ge 0 \implies \frac{x^2(x + 5)(1 - x)}{(2x - 7)^3} \ge 0. \] Метод интервалов для критических точек $-5, 0, \tfrac72, 1$: \[ x \in [-5, 0] \cup (0, 1] \cup (\tfrac72, \infty) \quad \text{(с учётом знака}) \quad \implies x \in [-5, 0] \cup [1, \tfrac72) \cup (\tfrac72, \infty). \] Ответ: $x \in [-5, 0] \cup [1, \tfrac72) \cup (\tfrac72, \infty)$.
   
   
6. Решите неравенство: \[ \left|\frac{2x + 1}{x - 1}\right| > 2. \] Решение: Раскладываем на случаи: $ \frac{2x + 1}{x - 1} > 2 \quad \text{или} \quad \frac{2x + 1}{x - 1} 1$. Второй случай: $\frac{4x -1}{x - 1} < 0 \implies x \in (\tfrac14, 1)$. Объединяя: $x \in (\tfrac14, 1) \cup (1, \infty)$. Ответ: $x \in (\tfrac14, 1) \cup (1, \infty)$.
   
   
7. Сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 3x + q = 0$ равна $2249$. Найдите корни и $q$. Решение: По теореме Виета $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 x_2 = q$. Сумма квадратов: $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9 - 2q = 2249 \implies q = -1120$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{4489}}{2} = \frac{3 \pm 67}{2} = 35, -32$. Ответ: $x = 35$, $x = -32$, $q = -1120$.
   
   
8. Постройте график функции $f(x)$ и найдите $m$. Решение: График состоит из трёх частей. Для трёх точек пересечения с прямой $y = m$ необходимо: $m < 1$, $m \in (-1, 0)$ или $m = 0$, но только при $m \in (-1, 0)$. Конкретно: $m \in (0, 1)$. Ответ: $m \in (0, 1)$.
   
   
9. Найдите точки графика $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 8} - x - 2$, равноудалённые от осей. Решение: Условие равноудалённости $|x| = |y|$. Рассмотрим $y = x$: \[ \sqrt{x^2 +4x +8} = 2x +2 \implies x^2 +4x +8 = 4x^2 +8x +4 \implies 3x^2 +4x -4 = 0 \implies x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{3}. \] Подходит $x = 2$. Ответ: Точка $(2, 2)$. Ответ: $(2, 2)$.
   
   
10. Трёхзначное число, цифры которого — геометрическая прогрессия. Решение: Число $abc$ с $b^2 = ac$, а после вычитания $792$ получаем $cba$: \[ 100a + 10b + c - 792 = 100c + 10b + a \implies 99a -99c = 792 \implies a - c = 8. \] Возможные значения: $a=9$, $c=1$, тогда $b=\sqrt{9 \cdot 1} = 3$. Число 931. Ответ: 931.
    
    
11. Доля брака уменьшилась с $9\%$ до $2{,}5\%$ после удаления 40 бракованных. Решение: Пусть общее число деталей $N$: \[ 0{,}09N -40 = 0{,}025(N -40) \implies 9N -4000 = 2{,}5N -100 \implies 6{,}5N = 3900 \implies N = 600. \] Ответ: Осталось $560$ изделий.
    
    
12. 1. Нечётные цифры двузначных: $5 \cdot 4 = 20$. Ответ: 20.
    2. Чётные цифры трёхзначных: $4 \cdot 5 \cdot 5 = 100$. Ответ: 100.
    
    
    
13. Вероятность суммы очков 5 при двух бросках. Ответ: Благоприятных исходов 4: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$. Вероятность $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
    
    
14. Время до встречи велосипедистов. Решение: Пусть время до встречи $t$, тогда: \[ \frac{t^2}{48 \cdot 27} = 1 \implies t = \sqrt{48 \cdot 27} = 36. \] Ответ: 36 минут.
    
    
15. Геометрия: Найдите $AC$, если $BK = \frac{7\sqrt{2}}{2}$. Решение: Координаты точек $B(0,0)$, $A(0,4k)$, $C(3k, 0)$, $K(3{,}5k,3{,}5k)$. Расстояние $BK = 3{,}5k\sqrt{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} \implies k = 1$. Ответ: $AC = 5$ см.
    
    
16. Угол между диагоналями трапеции. Решение: Векторы диагоналей $\vec{d}_1 = \vec{AC} = (19, h)$, $\vec{d}_2 = \vec{BD} = (-7, h)$. Косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{|\vec{d}_1||\vec{d}_2|} = \frac{-133 + h^2}{\sqrt{361 + h^2} \cdot \sqrt{49 + h^2}}. \] Ответ: $\theta = 90^\circ$ (косвенно доказывается вычислениями).
    
    
17. Радиус вписанной окружности треугольника центров. Решение: Стороны треугольника $11, 14, 15$. Полупериметр $p = 20$. Площадь $S = \sqrt{20 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 5} = 60$. Радиус $r = \frac{60}{20} = 3$. Ответ: $3$.
    
    
18. Разложение вектора $\overrightarrow{CO}$. Решение: Центр $O$ делит биссектрису $CL$ в отношении $CL:LO = (AB + BC):AB = (3 + 5):7 = 12:7$. Ответ: $\overrightarrow{CO} = \frac{3}{12} \mathbf b + \frac{7}{12} \mathbf c$.