8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2024 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2024
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2024 год


Вариант 1



  1. Вычислите: \[ \frac{ \sqrt[4]{7 \cdot \sqrt[3]{54} + 15 \cdot \sqrt[3]{128}} }{ \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[4]{32} + \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{162}}} } \]
  2. Упростите: \[ \frac{\dfrac{1}{x^2 + 1}}{\dfrac{3}{x^2 + x + x^2} : \dfrac{1}{x^2 - x^2}} \]
  3. Решите уравнение: \[ \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3} \]
  4. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} - 1} = \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \]
  5. Решите неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 4x)(3x - x^2)}{(2x + 5)^3} \leq 0 \]
  6. Решите неравенство: \[ \left| \frac{x - 3}{x + 4} \right| < 1 \]
  7. Известно, что сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 2x + q = 0$ равна $10\ 084$. Найдите корни уравнения и значение $q$.

  8. Постройте график функции $y = f(x)$, где \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & \text{при } x 2. \end{cases} \]

    При каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком этой функции две общие точки?

  9. $f(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 34} + x - 3$. Найти координаты всех точек графика заданной функции, равноудалённых от осей координат.

  10. Цифры трёхзначного числа образуют арифметическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходное число.

  11. На предприятии доля сотрудников с высшим образованием составляла $80\%$. После того как на работу было принято 30 новых специалистов с высшим образованием, доля сотрудников с высшим образованием увеличилась до $85\%$. Сколько сотрудников теперь работает на предприятии?

    1. Сколько существует двузначных чисел, все цифры которых нечётные и могут повторяться?
    2. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых чётные и не повторяются?


  13. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6.

  14. Два поезда выезжают одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. После их встречи первый прибывает в пункт $B$ через 50 ч, а второй — в пункт $A$ через 8 ч. Сколько времени прошло от начала движения поездов до их встречи, если они двигались с постоянными скоростями?

  15. На сторонах прямого угла с вершиной $M$ выбраны точки $D$ и $K$ так, что $MD:MK = 7:1$. На биссектрисе угла $\angle DMK$ взята точка $E$, равноудалённая от $D$ и $K$. Найдите $DK$, если $ME = 4$.

  16. Боковые стороны трапеции равны 15 см и 20 см, а основания равны 6 см и 31 см. Найдите угол между прямыми, содержащими боковые стороны трапеции.

  17. Круги радиусов $3$, $7$ и $10$ касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

  18. В $\triangle ABC$: $|AB| = 3$, $|BC| = 5$, $|CA| = 7$, $O$ — центр вписанной в треугольник окружности. Разложите вектор $\overrightarrow{BO}$ по векторам b = $\overrightarrow{AB}$ и c = $\overrightarrow{AC}$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{ \sqrt[4]{7 \cdot \sqrt[3]{54} + 15 \cdot \sqrt[3]{128}} }{ \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt[4]{32} + \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt[4]{162}}} } \] Решение: Упростим выражения в корнях:
    $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$; $\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}$.
    Числитель под корнем:
    $7 \cdot 3\sqrt[3]{2} + 15 \cdot 4\sqrt[3]{2} = (21 + 60)\sqrt[3]{2} = 81\sqrt[3]{2}$.
    $\sqrt[4]{81\sqrt[3]{2}} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{2}} = 3 \cdot 2^{1/6}$.
    Знаменатель под корнем:
    $\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = 2 \cdot 2^{1/4}$; $\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = 3 \cdot 2^{1/4}$.
    $4 \cdot 2 \cdot 2^{1/4} + \sqrt[3]{9 \cdot 3 \cdot 2^{1/4}} = 8 \cdot 2^{1/4} + \sqrt[3]{27 \cdot 2^{1/4}} = 8 \cdot 2^{1/4} + 3 \cdot 2^{1/12}$.
    Учитывая, что степени 2 приводятся к общему показателю:
    Результирующее выражение: \[ \frac{3 \cdot 2^{1/6}}{\sqrt[3]{8 \cdot 2^{1/4} + 3 \cdot 2^{1/12}}} = \frac{3 \cdot 2^{1/6}}{2 \cdot 2^{1/12} + 2^{1/12}} = \frac{3 \cdot 2^{1/6}}{3 \cdot 2^{1/12}} = \sqrt[12]{2^{2}} = 2^{1/6}. \] Ответ: $\sqrt[6]{2}$.

  2. Упростите: \[ \frac{\dfrac{1}{x^2 + 1}}{\dfrac{3}{x^2 + x + x^2} : \dfrac{1}{x^2 - x^2}} \] Решение: В знаменателе присутствует деление на выражение $x^2 - x^2 = 0$, что приводит к неопределённости. Следовательно, исходное выражение не определено.
    Ответ: выражение не определено.

  3. Решите уравнение: \[ \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3} \] Решение: ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq 3$. Перемножим крест-накрест:
    $(x + 1)(x - 3) = (x - 1)(x^2 - 4x + 3)$.
    Правая часть: $(x - 1)(x - 1)(x - 3)$.
    Сократим на $(x - 3)$ (учитывая ОДЗ):
    $x + 1 = (x - 1)^2$.
    Решаем: $x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0$.
    Корни: $x = 0$, $x = 3$. Проверяем ОДЗ: $x = 3$ не входит. Итоговый корень: $x = 0$.
    Ответ: 0.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} - 1} = \frac{x + 3\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \] Решение: Пусть $t = \sqrt{x}$, тогда уравнение:
    $\frac{t + 1}{2t - 1} = \frac{t^2 + 3t + 2}{t} \Rightarrow (t + 1)t = (2t - 1)(t^2 + 3t + 2)$.
    Раскрываем скобки:
    $t^2 + t = 2t^3 + 6t^2 + 4t - t^2 - 3t - 2$.
    Приводим подобные:
    $0 = 2t^3 + 4t^2 - t - 2$.
    Корни: $t = 1$, делим многочлен на $(t - 1)$:
    $(t - 1)(2t^2 + 6t + 2) = 0 \Rightarrow t = 1$ (остальные корни отрицательные, $t \geq 0$).
    Возвращаемся к $x$: $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$.
    Ответ: 1.

  5. Решите неравенство: \[ \frac{(2x^2 + 4x)(3x - x^2)}{(2x + 5)^3} \leq 0 \] Решение: Разложим множители:
    $2x(x + 2) \cdot x(3 - x) / (2x + 5)^3 \leq 0$.
    Корни числителя: $x = -2$, $x = 0$, $x = 3$.
    Знаменатель: корень $x = -2.5$ (точка разрыва).
    Метод интервалов:

    Решение: $x \in (-\infty; -2.5) \cup [-2; 0] \cup [3; +\infty)$.
    Ответ: $(-\infty; -2.5) \cup [-2; 0] \cup [3; +\infty)$.

  6. Решите неравенство: \[ \left| \frac{x - 3}{x + 4} \right| < 1 \] Решение: $-1 < \frac{x - 3}{x + 4} < 1$.
    Рассмотрим два случая:
    1. $\frac{x - 3}{x + 4} > -1 \Rightarrow \frac{x - 3 + x + 4}{x + 4} > 0 \Rightarrow \frac{2x + 1}{x + 4} > 0$.
    2. $\frac{x - 3}{x + 4} < 1 \Rightarrow \frac{-7}{x + 4} < 0$.
    Объединяем условия: $x \in (-4; +\infty)$.
    Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

  7. Найдите корни уравнения и значение $q$: \[ x^2 - 2x + q = 0, \quad x_1^2 + x_2^2 = 10084 \] Решение: По Виету: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1x_2 = q$.
    Сумма квадратов: $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4 - 2q = 10084 \Rightarrow q = -5040$.
    Уравнение: $x^2 - 2x - 5040 = 0$.
    Корни: $x = [2 \pm \sqrt{4 + 20160}]/2 = [2 \pm 142]/2 = 72$ и $-70$.
    Ответ: $x = 72$, $x = -70$, $q = -5040$.

  8. График функции $y = f(x)$: \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & x 2. \end{cases} \] Решение: Построим каждую часть:
    - Гипербола $4/x$ при $x < -2$.
    - Прямая $y = x/2 -1$ на $[-2; 2]$.
    - Парабола $y = x^2 -6x +8$ с вершиной в $x=3$, ветви вверх.
    Значения $m$ для двух точек пересечения:
    - Для $x < -2$: $4/x$ монотонно убывает от $-2$ до $-0$, принимает значения до $-2$.
    - Для $x \in [-2; 2]$: прямая принимает значения от $-2$ до $0$.
    - Для $x > 2$: парабола имеет минимум $y = (3)^2 -6 \cdot 3 +8 = -1$.
    Совместные значения: $m \in (-2; -1) \cup (0; +\infty)$.
    Ответ: $m \in (-2; -1) \cup (0; +\infty)$.

  9. Координаты точек равноудалённых от осей: \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 10x + 34} + x - 3 \] Решение: Условие: $y = \pm x$.
    Подставляя $y = x$:
    $x = \sqrt{x^2 +10x +34} + x - 3 \Rightarrow 3 = \sqrt{x^2 +10x +34}$.
    Возводим в квадрат: $9 = x^2 +10x +34 \Rightarrow x^2 +10x +25 = 0 \Rightarrow x = -5$.
    Проверка: $y = -5$, расстояние до осей 5.
    Ответ: Точка $(-5, -5)$.

  10. Трёхзначное число: цифры $a - d$, $a$, $a + d$. После вычитания 792: обратное число — $100(a + d) + 10a + (a - d) = 111a + 99d -792$. Уравнение:
    $100(a - d) + 10a + (a + d) -792 = 100(a + d) + 10a + (a - d)$.
    Решая, получаем $198d = 792 \Rightarrow d = 4$.
    Геометрическая прогрессия: цифры после изменения десятков. Уравнение $(a - 4) - 2 = (a +4)^2 / a$.
    Ответ: Исходное число — 147.

  11. Сотрудники с высшим образованием:
    Пусть было $x$ сотрудников. Тогда: \[ 0.8x + 30 = 0.85(x + 30) \] Решение: $0.8x + 30 = 0.85x + 25.5 \Rightarrow 4.5 = 0.05x \Rightarrow x = 90$.
    Теперь сотрудников: $90 + 30 = 120$.
    Ответ: 120.

  12. Комбинаторика:
    1. Двузначные числа с нечётными цифрами: 5 вариантов для каждой цифры ⇒ 25.
    2. Трёхзначные с чётными неповторяющимися: Первая цифра — 4 варианта (без 0), вторая — 4, третья — 3: 4×4×3 = 48.
      Ответ: (а) 25; (б) 48.


  13. Вероятность суммы 6:
    Варианты: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) ⇒ 5 благоприятных исходов. Всего исходов: 36.
    Вероятность: $5/36$.
    Ответ: $\dfrac{5}{36}$.

  14. Время до встречи поездов:
    Пусть время до встречи — $t$ часов. Тогда: $\dfrac{S_1}{v_1} = t$, $\dfrac{S_2}{v_2} = t$.
    После встречи: $\dfrac{S_2}{v_1} =50$, $\dfrac{S_1}{v_2}=8$.
    Решая систему: $v_1 = S_2/50$, $v_2 = S_1/8$.
    Отношение скорости: $v_1/v_2 = S_2/S_1 \cdot 8/50$.
    Встреча: $t = S_1/(S_2/50) = 50S_1/S_2 = 20$ часов.
    Ответ: 20 часов.

  15. Геометрия с точкой E:
    Координаты: $M(0,0)$, $D(7k, 0)$, $K(0,k)$. Биссектриса угла $DMK$: уравнение $y = x/7$.
    Точка E равноудалена от D и K: $x = 7k/2$, $y = k/2$. ME = 4:
    $\sqrt{(7k/2)^2 + (k/2)^2} =4 \Rightarrow k = \dfrac{8}{\sqrt{50}} \Rightarrow DK = \sqrt{(7k)^2 + k^2} = \sqrt{50k^2} =8$.
    Ответ: 8.

  16. Угол между боковыми сторонами трапеции:
    Проведём высоты и находим проекции боковых сторон на основания. Длина проекции: $\sqrt{15^2 - h^2}$, аналогично для другой стороны. Используем теорему косинусов для треугольника между сторонами.
    Ответ: $120^\circ$.

  17. Радиус вписанной окружности:
    Стороны треугольника: 3+7=10, 7+10=17, 3+10=13.
    Полупериметр: $(10+17+13)/2=20$.
    Площадь по формуле Герона: $\sqrt{20⋅10⋅3⋅7} = \sqrt{4200} = 10\sqrt{42}$.
    Радиус: $r = S/p = 10\sqrt{42}/20 = \sqrt{42}/2$.
    Ответ: $\sqrt{42}/2$.

  18. Вектор $\overrightarrow{BO}$:
    Используем формулу центра вписанной окружности: \[ \overrightarrow{BO} = \dfrac{a\mathrm{c} + c\mathrm{b}}{a + b + c}. \] Для $\triangle ABC$: $a=BC=5$, $b=AC=7$, $c=AB=3$.
    $\overrightarrow{BO} = \dfrac{5\mathrm{c} +3\mathrm{b}}{15}$.
    Ответ: $\dfrac{1}{5}\mathrm{b} + \dfrac{1}{3}\mathrm{c}$.
Материалы школы Юайти