Лицей №239 из 9 в 10 класс 2024 год
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
ЗаписатьсяПечать
youit.school ©
Лицей 239
2023 год
Интернат
- Вычислите:
\[
\frac{2ab\,(a^3 - b^3)}{a^2 + ab + b^2}
\;-\;
\frac{(a - b)\,(a^4 - b^4)}{a^2 - b^2},
\quad
\substack{a = -1.5\dots 56,\\ b = 5.4\dots 44}.
\]
- Определите число действительных корней уравнения
\[
(x^2 + x - 2)\Bigl(\tfrac{x^3 - 8}{x - 2} - 2\bigl(\sqrt{x^2 + 2x - 3}\bigr)^2 + x - 4\Bigr) = 0.
\]
- Решите неравенство:
\[
\frac{3x^2 + 6x + 2}{x^2 + 2x}
\;+\;
\frac{2x + 3}{x - 1}
\;\ge\;
\frac{5x + 1}{x}.
\]
- Решите систему:
\[
\begin{cases}
x^2 + 3y + z = -8,\\
x + y^2 + 5z = -12,\\
x + y + z^2 = 6.
\end{cases}
\]
- Прямая проходит через точку $(10,0)$ и пересекает параболу $y = x^2$ в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$. Найдите
\[
\frac1{x_1} + \frac1{x_2}.
\]
- Квадратный трёхчлен $f(x) = x^2 + ax + b$ имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка $[0,1]$, а другой — вне этого отрезка. Определите знак $f(b)$.
- Постройте график функции
\[
y = \frac{2x^2 - 8x}{|x - 2| - 2}
\]
и укажите множество значений функции, которые она принимает ровно один раз.
- В коробке лежит 30 белых и чёрных шаров. Определите, сколько белых и сколько чёрных шаров в коробке, если среди любых 12 шаров хотя бы 1 белый, а среди любых 20 шаров хотя бы 1 чёрный.
- Найдите целое число \(a\), при котором выражение
\[
(x - a)(x - 10) + 1
\]
раскладывается в произведение \((x + b)(x + c)\) с целыми \(b\) и \(c\).
- Известно, что
\[
f(2x) = \frac{x+1}{2x+3}.
\]
Найдите корни уравнения \(f(x) - 1 = 0\).
- При каком значении \(a\) выражение
\[
x^2 + \frac{a^2}{x^2} \;-\; 4\Bigl(x + \frac{a}{x}\Bigr) + 10
\]
является полным квадратом?
- При каких значениях параметра \(a\) произведение корней уравнения
\[
\frac{3x}{x^2 + 5x + 9} = a
\]
равно 9?
- Для любой пары чисел определена операция «\(*\)», удовлетворяющая свойствам
\[
a*(b*c) = (a*b)\cdot c,\quad a*a = 1,
\]
где \(\cdot\) — обычное умножение. Найдите все корни \(x\) уравнения
\[
x * 3 = 2024.
\]
- В трапеции \(ABCD\) длина основания \(AD\) равна \(2\sqrt2\), а длина основания \(BC\) равна \(\sqrt2\). Угол \(A = 15^\circ\), угол \(D = 30^\circ\). Найдите длину боковой стороны \(AB\).
- В острoугольном треугольнике $ABC$ высоты $AK$ и $CL$ пересекаются в точке $H$. Найдите $\tg \angle BAC$, если $AH = HK$ и $CH = 2\,HL$.
- В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) из точки $E$ — середины $CD$ — проведён перпендикуляр $EF$ к прямой $AB$.
Найдите площадь трапеции, если $AB = 5$ и $EF = 4$.
- На стороне $AC$ треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность радиуса $10$ см. Эта окружность пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Найдите $AX \cdot AB + CY \cdot BC$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{2ab(a^3 - b^3)}{a^2 + ab + b^2} - \frac{(a - b)(a^4 - b^4)}{a^2 - b^2}
\]
Решение:
Упростим каждое слагаемое:
- Первое слагаемое: \[ \frac{2ab(a^3 - b^3)}{a^2 + ab + b^2} = \frac{2ab(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a^2 + ab + b^2} = 2ab(a - b) \]
- Второе слагаемое: \[ \frac{(a - b)(a^4 - b^4)}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} = (a - b)(a^2 + b^2) \]
- Определите число действительных корней уравнения:
\[
(x^2 + x - 2)\left( \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 2(\sqrt{x^2 + 2x - 3})^2 + x - 4 \right) = 0
\]
Решение:
Разложим на множители:
- Первый множитель: \( x^2 + x - 2 = 0 \rightarrow x = 1 \) и \( x = -2 \)
- Второй множитель упрощаем: \[ \frac{x^3 - 8}{x - 2} = x^2 + 2x + 4 \; (x \ne 2) \] \[ \sqrt{x^2 + 2x - 3}^2 = x^2 + 2x - 3 \; (x \le -3 \text{ или } x \ge 1) \] Получим: \[ x^2 + 2x + 4 - 2(x^2 + 2x - 3) + x - 4 = -x^2 - x + 6 \] Решаем: \[ -x^2 - x + 6 = 0 \rightarrow x = -3, \; x = 2 \; (\text{но } x = 2 \text{ исключено}) \]
- Решите неравенство:
\[
\frac{3x^2 + 6x + 2}{x^2 + 2x} + \frac{2x + 3}{x - 1} \ge \frac{5x + 1}{x}
\]
Решение:
Приведём к общему знаменателю \( x(x + 2)(x - 1) \):
\[
\frac{4x + 11}{(x + 2)(x - 1)} \ge 0, \; x \ne 0, -2, 1
\]
Метод интервалов даёт:
\[
x \in (-\infty; -2.75] \cup (1; +\infty)
\]
Ответ: \( x \in (-\infty; -2.75] \cup (1; +\infty) \).
- Решите систему:
\[
\begin{cases}
x^2 + 3y + z = -8 \\
x + y^2 + 5z = -12 \\
x + y + z^2 = 6
\end{cases}
\]
Решение:
Подставляем \( z = -3 \), проверкой находим:
\[
x = -1, \; y = -2. \; \text{Все уравнения выполняются.}
\]
Ответ: \( (-1; -2; -3) \).
- Найдите \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \), если прямая через \( (10,0) \) пересекает \( y = x^2 \):
Решение:
Прямая \( y = k(x - 10) \). Подставляя в уравнение параболы:
\[
x^2 - kx + 10k = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = k, \; x_1x_2 = 10k
\]
Тогда:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{k}{10k} = \frac{1}{10}
\]
Ответ: \( \frac{1}{10} \).
- Определите знак \( f(b) \), где \( f(x) = x^2 + ax + b \):
Решение:
Корни: один внутри \( [0,1] \), другой вне. Анализ показывает \( f(b) < 0 \).
Ответ: Отрицательный (f(b) < 0).
- Постройте график функции:
\[
y = \frac{2x^2 - 8x}{|x - 2| - 2}
\]
Решение:
Упрощаем:
\[
y = \begin{cases}
8 - 2x, & x < 2, \; x \ne 0 \\
2x, & x \ge 2, \; x \ne 4
\end{cases}
\]
Множество значений, принимаемых один раз: \( (-\infty; 4] \cup \{4\} \).
Ответ: \( y \le 4 \).
- Определите количество шаров:
Решение:
Пусть \( b \) — белые, \( c \) — чёрные. Условия:
\[
\begin{cases}
c \le 11 \\
b \le 19 \\
b + c = 30
\end{cases} \Rightarrow b = 19, \; c = 11
\]
Ответ: 19 белых, 11 чёрных.
- Найдите целое \( a \) для разложения:
Решение:
\( (x - a)(x - 10) + 1 = (x + b)(x + c) \). Перебор показывает \( a = 8 \) или \( a = 12 \).
Ответ: 8 или 12.
- Найдите корни уравнения \( f(x) - 1 = 0 \):
Решение:
\( f(2x) = \frac{x + 1}{2x + 3} \rightarrow f(x) = \frac{\frac{x}{2} + 1}{x + 3} \). Решаем:
\[
\frac{\frac{x}{2} + 1}{x + 3} = 1 \Rightarrow x = -5
\]
Ответ: \( x = -5 \).
- Найдите \( a \), при котором выражение является квадратом:
Решение:
Подстановка \( t = x + \frac{a}{x} \). Условие выполняется при \( a = 2 \).
Ответ: \( a = 2 \).
- Найдите параметр \( a \) с произведением корней 9:
Решение:
Переписываем уравнение как квадратное:
Дискриминант должен быть положительным. Корни:
\( a = \frac{3}{14} \).
Ответ: \( a = \frac{3}{14} \).
- Найдите корни уравнения \( x * 3 = 2024 \):
Решение:
Из свойств операции:
\( x * 3 = x \cdot 3 \div x = 2024 \). Решаем:
\( x = \pm \sqrt{\frac{2024}{3}} \).
Ответ: Нет решения в целых числах.
- Найдите длину \( AB \) в трапеции \( ABCD \):
Решение:
Используя теорему косинусов:
\[
AB = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}
\]
Ответ: \( AB = 2 \).
- Найдите \( \tg \angle BAC \):
Решение:
Из условий пересечения высот:
Используя свойства остроугольного треугольника:
Ответ: \( \tg = 2 \).
- Найдите площадь трапеции \( ABCD \):
Решение:
Используя среднюю линию и перпендикуляр:
Площадь: \( 20 \).
Ответ: 20.
- Найдите \( AX \cdot AB + CY \cdot BC \): Решение: Используя свойства окружности и теорему о степени точки: Ответ: \( 400 \) см\(^2\).
Материалы школы Юайти