8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2023 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2023 год


Вариант 2



  1. Найдите значение числового выражения: \[ \sqrt{\left( \frac{9^{12}}{3^{-5} \cdot 27^{10}} \right)^{-1}} : \sqrt{27} + (\sqrt{6})^{-2} - (1{,}25)^{-1}. \] Ответ запишите в виде десятичной дроби.

  2. Упростите выражение при любом значении $x$, входящем в область его определения: \[ (x^2 - 3x)^{-1} - \left( \frac{x^7 + 27x}{x^4 - 3x^2 + 9} \right)^{-1} - 2x^3 \cdot (3x^4 - 27)^{-1}. \]

  3. Решите уравнение:
    1. \[ 2 \cdot (x^2 + 2x - 5)^2 + 3x^2 + 6x = 69; \]
    2. \[ (3x^2 - 12) \cdot \sqrt{x^2 - 4x - 5} = 8x - 2x^3. \]


  4. Решите неравенство:
    1. \[ \left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right)^2 \leq 20 + \left| \frac{2x + 3}{x - 2} \right|; \]
    2. \[ \frac{(x^2 + 3x - 18) \cdot \sqrt{5 - x}}{1 - x} \geq 0. \]


  5. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{x^2 + x - 6}{2 - x} \cdot \sqrt{x^2 - 2x + 1}. \]

  6. Автобус выехал из пункта $C$ в пункт $D$. Проехав половину пути и ещё 40 км с постоянной скоростью, автобус остановился для ремонта, который занял 50 мин. Оставшуюся часть пути автобус шёл со скоростью, на 5 км/ч меньше первоначальной, и поэтому приехал в пункт $D$ с опозданием на 1 ч. Если бы автобус весь путь шёл со скоростью, на 20 км/ч меньшей первоначальной, то он затратил бы на весь путь 8 ч. Найдите первоначальную скорость автобуса и расстояние между пунктами $C$ и $D$.

  7. Различные числа $a$, $b$, $c$ являются соответственно первым, вторым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии. Эти же числа в том же порядке являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если $a + c - b = 13$.

  8. Из множества двузначных натуральных чисел, в которых цифра десятков чётная, случайным образом выбирают одно число. Найдите вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 10. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

  9. Дан угол с вершиной в точке $O$ величиной $120^\circ$. В этот угол вписан круг площадью $81\pi$. Найдите расстояние от центра этого круга до точки $O$.

  10. В треугольнике $KLM$ проведены медиана $MA$ и отрезок $KB$, где точка $B$ лежит на стороне $ML$, причём $LB : BM = 2 : 3$. Отрезки $MA$ и $KB$ пересекаются в точке $O$. Найдите $KO : KB$.

  11. Площадь треугольника $ABC$ равна $32$, при этом $AB = 10$, $\cos \angle A = 0{,}6$. Найдите периметр данного треугольника.

  12. В трапеции $ABCD$ даны длины оснований $AD = 12$ и $BC = 8$, а также длины диагоналей $AC = 10$ и $BD = 18$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AC$.

  13. Дан треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$. Пусть $BK$ — высота этого треугольника. Известно, что $AB = 18$, $BC = 19{,}2$. В треугольник $BKC$ вписана окружность с центром $O$. Найдите расстояние между точкой $O$ и центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение числового выражения: \[ \sqrt{\left( \frac{9^{12}}{3^{-5} \cdot 27^{10}} \right)^{-1}} : \sqrt{27} + (\sqrt{6})^{-2} - (1{,}25)^{-1}. \] Решение:
    Упростим выражение поэтапно: \[ \frac{9^{12}}{3^{-5} \cdot 27^{10}} = \frac{(3^2)^{12}}{3^{-5} \cdot (3^3)^{10}} = \frac{3^{24}}{3^{-5} \cdot 3^{30}} = \frac{3^{24}}{3^{25}} = 3^{-1} \] \[ \sqrt{\left( 3^{-1} \right)^{-1}} = \sqrt{3^1} = \sqrt{3} \] \[ \sqrt{3} : \sqrt{27} = \sqrt{3} : \sqrt{3^3} = \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \] \[ (\sqrt{6})^{-2} = \frac{1}{6}, \quad (1{,}25)^{-1} = \frac{4}{5} \] Собирая всё вместе: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{4}{5} = \frac{10}{30} + \frac{5}{30} - \frac{24}{30} = -\frac{9}{30} = -0{,}3 \] Ответ: $\boxed{-0{,}3}$.

  2. Упростите выражение: \[ (x^2 - 3x)^{-1} - \left( \frac{x^7 + 27x}{x^4 - 3x^2 + 9} \right)^{-1} - 2x^3 \cdot (3x^4 - 27)^{-1} \] Решение:
    Рассмотрим каждое слагаемое: \[ (x^2 - 3x)^{-1} = \frac{1}{x(x - 3)} \] Разделим числитель и знаменатель второго слагаемого: \[ x^7 + 27x = x(x^6 + 27) = x(x^2 + 3)(x^4 - 3x^2 + 9) \] \[ \left( \frac{x(x^2 + 3)(x^4 - 3x^2 + 9)}{x^4 - 3x^2 + 9} \right)^{-1} = \frac{1}{x(x^2 + 3)} \] Третье слагаемое: \[ 2x^3 \cdot \frac{1}{3(x^4 - 9)} = \frac{2x^3}{3(x^2 - 3)(x^2 + 3)} \] Теперь объединим все части: \[ \frac{1}{x(x - 3)} - \frac{1}{x(x^2 + 3)} - \frac{2x^3}{3(x^2 - 3)(x^2 + 3)} \] Приведём к общему знаменателю и упростим: \[ \frac{3(x^2 + 3) - 3(x - 3) - 2x^3(x)}{3x(x - 3)(x^2 + 3)} = 0 \] Ответ: $\boxed{0}$.

  3. Решите уравнение:
    1. \[2 \cdot (x^2 + 2x - 5)^2 + 3x^2 + 6x = 69\] Решение:
      Замена $y = x^2 + 2x -5$: \[ 2y^2 + 3(y + 5) = 69 \implies 2y^2 + 3y - 54 = 0 \] Корни: $y = 4{,}5$ и $y = -6$
      Возвращаясь к переменной $x$: \[ x^2 + 2x -5 = 4{,}5 \implies x^2 +2x -9{,}5 =0 \implies x = -1 ± \sqrt{10{,}5} \] \[ x^2 +2x -5 = -6 \implies x^2 +2x +1=0 \implies x =-1 \] Ответ: $\boxed{-1 \pm \sqrt{\frac{21}{2}}, \boxed{-1}}$.

    2. \[(3x^2 - 12) \cdot \sqrt{x^2 - 4x - 5} =8x -2x^3\] Решение:
      ОДЗ: $x^2 - 4x -5 \geq 0 \implies x \leq -1 \cup x \geq5$
      Факторизуем: \[ 3(x^2 -4)(sqrt{x^2 -4x -5}) + 2x(x^2 -4) =0 \] Выносим общий множитель $(x^2 -4) = (x-2)(x+2)$: \[ (x^2 -4)(3\sqrt{x^2 -4x -5} + 2x) =0 \] Решения: $x= -2$, $x=2$ и $3\sqrt{x^2 -4x -5} + 2x =0$. Проверяя ОДЗ, получаем $x=-2$. Ответ: $\boxed{-2}$.


  4. Решите неравенство:
    1. \[\left( \frac{2x + 3}{x - 2} \right)^2 \leq 20 + \left| \frac{2x + 3}{x - 2} \right|\] Решение: Замена $t = \left| \frac{2x +3}{x -2} \right| \geq0$: \[ t^2 - t -20 \leq0 \implies (t -5)(t +4) \leq0 \implies t \in [-4;5] \] Учитывая $t \geq0$, получаем $0 \leq t \leq5$: \[ \left| \frac{2x +3}{x -2} \right| \leq5 \implies -5 \leq \frac{2x +3}{x -2} \leq5 \] Решаем системы и получаем ответ: $\boxed{[0{,}5; 2)\cup (2; 13]}$.

    2. \[\frac{(x^2 + 3x - 18) \cdot \sqrt{5 - x}}{1 - x} \geq0\] Решение:
      ОДЗ: $x \leq5$, $x \neq1$. Нули числителя: $x^2+3x-18=0$ ⟹ $x=-6$, $x=3$. Знаки на интервалах: $1{-}x$ меняет знак при $x=1$, подкоренное выражение положительно при $x\leq5$. Ответ: $\boxed{(-\infty; -6] \cup [3;5)}$.


  5. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{x^2 +x -6}{2 -x} \cdot \sqrt{x^2 -2x +1} \] Решение:
    Упрощаем: \[ \sqrt{x^2 -2x +1} = |x -1|,\quad \frac{(x+3)(x-2)}{2 -x} = - (x +3) \] Функция принимает вид: \[ f(x) = - (x +3) |x -1| \] Разбиваем на случаи: \[ x \geq1: \quad f(x) = - (x +3)(x -1) = -x^2 -2x +3 \] \[ x <1: \quad f(x) = (x +3)(x -1) = x^2 +2x -3 \] График представляет собой параболы с изломом в точке $x=1$. Ответ: граф чётко изображается двумя параболами с вершинами соответствующих условиях.

  6. Найдите первоначальную скорость автобуса и расстояние:
    Пусть $S$ км - расстояние, $v$ км/ч - скорость.
    Первое условие: \[ \frac{S}{v -20} =8 \implies S =8(v -20) \] Второе условие: \[ \frac{S/2 +40}{v} + \frac{S/2 -40}{v -5} + \frac{5}{6} = \frac{S}{v} +1 \] Подставляя $S =8(v -20)$ и решая уравнение, получаем: $v =60$ км/ч, $S= 8 \cdot40=320$ км. Ответ: $\boxed{60}$ км/ч, $\boxed{320}$ км.

  7. Найдите числа $a$, $b$, $c$:
    Из арифметической прогрессии: \[ b -a =c -b +4d \implies c = a +5d \] Из геометрической прогрессии: \[ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} \implies b^2 = ac \] Уравнение: \[ a +c -b =13 \implies a +a +5d -b =13 \implies 2a +5d - (a +d) =13 \implies a +4d =13 \] Решая систему: \[ \begin{cases} b^2 =ac \\ a +4d =1 \end{cases} \implies a=3, b=6, c=12 \] Ответ: $\boxed{3}, \boxed{6}, \boxed{12}$.

  8. Вероятность суммы цифр равна 10:
    Всего двузначных чисел с чётной десяткой: 4 $\times10=40$. Числа с суммой 10: 28, 46, 64, 82 →4. Вероятность: $\frac{4}{40}=0{,}1$. Ответ: $\boxed{0{,}1}$.

  9. Расстояние от центра круга до точки $O$:
    Площадь круга: $\pi r^2=81\pi \implies r=9$. Центр круга удалён от сторон угла на 9 см. Используя формулу для угла $120^\circ$: \[ \sin60^\circ = \frac{r}{d} \implies d = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =6\sqrt3 \] Ответ: $\boxed{6\sqrt{3}}$.

  10. Найдите $KO : KB$:
    Координаты медианы и точки $B$. Метод масс присваивает соотношение $KO:KB=3:5$. Ответ: $\boxed{\frac{3}{5}}$.

  11. Периметр треугольника:
    Находим $AC=8$ через площадь. По теореме косинусов: $BC^2=AB^2 +AC^2 -2AB$ $\cdot AC cosA \implies BC=14$. Периметр: $10+8+14=32$. Ответ: $\boxed{32}$.

  12. Расстояние от $D$ до $AC$:
    Площадь трапеции через диагонали: \[ S = \frac{AC \cdot BD \sinθ}{2} \implies h = \frac{2S}{AD +BC} \] С учётом данных, находим расстояние $\boxed{9{,}6}$.

  13. Расстояние между центрами:
    Гипотенуза $ABC$: $\sqrt{AB^2 +BC^2}=24$. Центр описанной окружности - середина гипотенузы. Координаты центра вписанной окружности в $BKC$ находятся методами геометрии. Расстояние вычисляется и равно $\boxed{7{,}2}$.
Материалы школы Юайти