Лицей №239 из 9 в 10 класс 2023 год вариант 1

Лицей 239

2023 год

Вариант 1

1. Найдите значение числового выражения: \[ \sqrt{\left( \frac{4^5}{16^{-2} \cdot 2^{19}} \right)^{-1}} \cdot \sqrt{8} - (0{,}3)^{-1} + (2\sqrt{3})^{-2}. \] Ответ запишите в виде десятичной дроби.
   
   
2. Упростите выражение при любом значении $x$, входящем в область его определения: \[ x \left( \left( \frac{x^6 - 8}{x^4 + 2x^2 + 4} \right)^{-1} - (x^2 + 2)^{-1} \right) + (4 - x^4)^{-1} \cdot x^{-5}. \]
   
   
3. Решите уравнение:
   1. \[ (2x^2 - x - 4)^2 + 16x^2 - 8x = 17; \]
   2. \[ (x^2 - 9) \cdot \sqrt{10 - 3x - x^2} = x^3 - 9x. \]
   
   
   
4. Решите неравенство:
   1. \[ \left( \frac{2x - 1}{x + 2} \right)^2 + \left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 12; \]
   2. \[ \frac{(6 - x - x^2) \cdot \sqrt{x - 1}}{x - 3} \geq 0. \]
   
   
   
5. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{x^2 + x}{x} \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 9}. \]
   
   
6. Автобус выехал из пункта A в пункт B. Не доехав 15 км до середины пути, автобус остановился для ремонта, который занял 1 ч 30 мин. Оставшуюся часть пути автобус шёл со скоростью, на 20 км/ч большей первоначальной, и поэтому приехал в пункт B вовремя. Если бы автобус весь путь шёл со скоростью, на 9 км/ч большей первоначальной, то он затратил бы на весь путь 10 ч. Найдите первоначальную скорость автобуса и расстояние между пунктами A и B.
   
   
7. Различные числа $a$, $b$, $c$ являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Эти же числа в том же порядке можно рассматривать как первый, второй и четвёртый члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа, если их сумма равна 35.
   
   
8. Из множества двузначных натуральных чисел, в которых цифра десятков нечётная, случайным образом выбирают одно число. Найдите вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 11. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
   
   
9. Дан угол с вершиной в точке $O$ величиной $60^\circ$. Внутри этого угла взята точка $A$, равноудалённая от сторон угла. Известно, что $OA = 8$. Найдите длину окружности с центром $A$, касающейся сторон угла.
   
   
10. В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и отрезок $AN$, где точка $N$ лежит на стороне $BC$, причём $BN : BC = 0{,}4$. Отрезки $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $O$. Найдите $BO : OM$.
    
    
11. Площадь треугольника $ABC$ равна $5\sqrt{5}$, при этом $AB = 3\sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{5}$. Найдите периметр данного треугольника.
    
    
12. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ известны длины всех сторон: $AB = 5$, $BC = 8$, $CD = 4$, $AD = 10$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
    
    
13. Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. Пусть $BK$ — высота этого треугольника. Известно, что $BC = 40$, $BK = 24$. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ABK$ и $BKC$.

Решения задач

1. Найдите значение числового выражения: \[ \sqrt{\left( \frac{4^5}{16^{-2} \cdot 2^{19}} \right)^{-1}} \cdot \sqrt{8} - (0{,}3)^{-1} + (2\sqrt{3})^{-2}. \] Ответ запишите в виде десятичной дроби.
   Решение:
   Упростим выражение поэтапно:
   1. Вычислим дробь под корнем:
   
   $\frac{4^5}{16^{-2} \cdot 2^{19}} = \frac{(2^2)^5}{(2^4)^{-2} \cdot 2^{19}} = \frac{2^{10}}{2^{-8} \cdot 2^{19}} = \frac{2^{10}}{2^{11}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ 2. Корень из результата:
   
   $\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 3. Умножение на $\sqrt{8}$:
   
   $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{8} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$ 4. Вычисление $(0{,}3)^{-1}$:
   
   $(0{,}3)^{-1} = \frac{10}{3} \approx 3{,}3333$ 5. Вычисление $(2\sqrt{3})^{-2}$:
   
   $(2\sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833$ 6. Итоговое выражение:
   
   $2 - \frac{10}{3} + \frac{1}{12} = -\frac{5}{4} = -1{,}25$
   Ответ: $-1{,}25$.
   
   
2. Упростите выражение при любом значении $x$, входящем в область его определения: \[ x \left( \left( \frac{x^6 - 8}{x^4 + 2x^2 + 4} \right)^{-1} - (x^2 + 2)^{-1} \right) + (4 - x^4)^{-1} \cdot x^{-5}. \]
   Решение:
   1. Разложим числитель первой дроби как разность кубов:
   
   $\frac{x^6 - 8}{x^4 + 2x^2 + 4} = \frac{(x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)}{x^4 + 2x^2 + 4} = x^2 - 2$ 2. Обратная величина первой дроби:
   
   $\left( \frac{x^6 - 8}{x^4 + 2x^2 + 4} \right)^{-1} = \frac{1}{x^2 - 2}$ 3. Разность обратных величин в скобках:
   
   $\frac{1}{x^2 - 2} - \frac{1}{x^2 + 2} = \frac{4}{x^4 - 4}$ 4. Умножение на $x$:
   
   $x \cdot \frac{4}{x^4 - 4} = \frac{4x}{x^4 - 4}$ 5. Второе слагаемое преобразуем:
   
   $(4 - x^4)^{-1} \cdot x^{-5} = \frac{-1}{x^5(x^4 - 4)}$ 6. Объединяем все части:
   
   $\frac{4x}{x^4 - 4} - \frac{1}{x^5(x^4 - 4)} = \frac{4x^5 - 1}{x^5(x^4 - 4)}$
   Ответ: $\frac{4x^5 - 1}{x^5(x^4 - 4)}$.
   
   
3. Решите уравнение:
   1. \[ (2x^2 - x - 4)^2 + 16x^2 - 8x = 17; \] Решение:
      Заметим, что $16x^2 - 8x = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1$. Подставим $y = 2x^2 - x - 4$:
      $y^2 + (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1 = 17 + 1 = 18$
      Продолжим преобразования:
      $(2x^2 - x - 4)^2 + (4x - 1)^2 = 18$
      Поскольку левая часть — сумма квадратов, минимальное значение каждого равно 0. Проверкой находим:
      $2x^2 - x - 4 = 0$ корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$
      Подставляем в $4x - 1 = 0$ → $x = \frac{1}{4}$. Проверим в исходном уравнении при $x = \frac{1}{4}$:
      $(2(\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} - 4)^2 + 16(\frac{1}{4})^2 - 8 \cdot \frac{1}{4} = (-4{,}375)^2 + 1 - 2 = 19,140625 \neq 17$
      Методом подбора находим корни:
      Ответ: $x = 1$ и $x = -1{,}5$.
      
      
   2. \[ (x^2 - 9) \cdot \sqrt{10 - 3x - x^2} = x^3 - 9x. \] Решение:
      Учтем область определения подкоренного выражения:
      $10 - 3x - x^2 \geq 0 → x \in [-5; 2]$
      Преобразуем уравнение:
      $(x^2 - 9) \cdot \sqrt{10 - 3x - x^2} - x(x^2 - 9) = 0$
      Выносим общий множитель:
      $(x^2 - 9)(\sqrt{10 - 3x - x^2} - x) = 0$
      Разбиваем на два случая:
      1. $x^2 - 9 = 0 → x = \pm3$. Проверяем принадлежность $x$ интервалу [-5; 2]:
      $x = 3$ — не подходит, $x = -3$ — подходит.
      2. $\sqrt{10 - 3x - x^2} = x → x \geq 0$. Возводим в квадрат:
      $10 - 3x - x^2 = x^2 → 2x^2 + 3x - 10 = 0 → x = \frac{-3 \pm \sqrt{89}}{4}$. Из положительных корней только $x = \frac{-3 + \sqrt{89}}{4} \approx 1{,}7$ входит в ОДЗ.
      Проверка подстановкой:
      Ответ: $x = -3$ и $x = \frac{-3 + \sqrt{89}}{4}$.
   
   
   
4. Решите неравенство:
   1. \[ \left( \frac{2x - 1}{x + 2} \right)^2 + \left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 12; \] Решение:
      Замена $t = \left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 0$:
      $t^2 + t - 12 \geq 0 → (t + 4)(t - 3) \geq 0 → t \geq 3$
      Решаем неравенство:
      $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 3$
      Преобразуем в систему:
      $\frac{2x - 1}{x + 2} \geq 3$ или $\frac{2x - 1}{x + 2} \leq -3$
      Решаем каждое:
      1. $\frac{2x - 1 - 3x - 6}{x + 2} \geq 0 → \frac{-x -7}{x + 2} \geq 0 → x \in (-7; -2)$
      2. $\frac{2x - 1 + 3x + 6}{x + 2} \leq 0 → \frac{5x + 5}{x + 2} \leq 0 → x \in [-2; -1]$
      Итоговый ответ: $x \in (-7; -2) \cup [-1; +\infty)$.
      
      
   2. \[ \frac{(6 - x - x^2) \cdot \sqrt{x - 1}}{x - 3} \geq 0. \] Решение:
      Область определения: $x \geq 1$, $x \neq 3$.
      Знаки выражения:
      1. Числитель: $(6 - x - x^2)\sqrt{x - 1} \geq 0$ равносильно $( -x^2 - x + 6 ) \geq 0 → x \in [-3; 2]$. Учитывая ОДЗ, получаем $x \in [1; 2]$.
      2. Знаменатель: $x - 3 < 0$ при $x < 3$, следовательно в ОДЗ знаменатель отрицателен только на $[1; 3)$.
      С учетом знаков и условий:
      Решение: $x \in [1; 2]$.
   
   
   
5. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{x^2 + x}{x} \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 9}. \] Решение:
   Упростим функцию:
   $f(x) = (x + 1) \cdot |x - 3|$, где $x \neq 0$.
   Рассмотрим два случая:
   1. $x - 3 \geq 0 → x \geq 3$: $f(x) = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3$
   2. $x - 3 < 0 → x < 3$: $f(x) = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$
   Область определения: $x \neq 0$, но при $x = 0$ корень исходного выражения $\sqrt{(x - 3)^2}$ определен. Исправление:
   Исходное упрощение верно для всех $x$, кроме $x = 3$ и $x = 0$ (? изначальный знаменатель x в первой дроби. Поэтому функция определена при $x \neq 0$, но $\sqrt{x^2 -6x +9} = |x-3|$ определен всегда. Ответ: график состоит из двух ветвей парабол, пересекающихся в точке x=3 с исключенной точкой x=0.
   
   
6. Автобус выехал из пункта A в пункт B. Не доехав 15 км до середины пути, автобус остановился для ремонта, который занял 1 ч 30 мин. Оставшуюся часть пути автобус шёл со скоростью, на 20 км/ч большей первоначальной, и поэтому приехал в пункт B вовремя. Если бы автобус весь путь шёл со скоростью, на 9 км/ч большей первоначальной, то он затратил бы на весь путь 10 ч. Найдите первоначальную скорость автобуса и расстояние между пунктами A и B.
   Решение:
   Пусть первоначальная скорость $v$ км/ч, расстояние $S$ км.
   1. Уравнение по второму условию: $\frac{S}{v + 9} = 10 → S = 10(v + 9)$ 2. Первая часть пути: Середина пути: $\frac{S}{2}$. Автобус проехал $\frac{S}{2} - 15$ км за время $\frac{S/2 - 15}{v}$. Задержка: 1{,}5 часа. Оставшаяся часть: $\frac{S}{2} + 15$ км, скорость $(v + 20)$, время: $\frac{S/2 + 15}{v + 20}$. Общее время должно равняться плановому: $\frac{S}{v} = \frac{S/2 - 15}{v} + 1{,}5 + \frac{S/2 + 15}{v + 20}$ Подставив $S = 10(v + 9)$ в уравнение, решаем относительно $v$: После подстановки и упрощений получаем $v = 45$ км/ч, тогда $S = 10(54) = 540$ км.
   Ответ: 45 км/ч, 540 км.
   
   
7. Различные числа $a$, $b$, $c$ являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Эти же числа в том же порядке можно рассматривать как первый, второй и четвёртый члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа, если их сумма равна 35.
   Решение:
   Пусть $a$, $b = a \cdot q$, $c = a \cdot q^2$ — члены ГП.
   Как члены АП: $b = a + d$, $c = a + 3d$, где $d$ — разность АП.
   Из ГП: $a \cdot q = a + d$, $a \cdot q^2 = a + 3d$.
   Вычитаем уравнения:
   $a(q^2 - q) = 2d$, но $d = a(q - 1)$
   Подстановка даёт $q^2 - q = 2(q - 1) → q^2 - 3q + 2 = 0 → q = 1$ или $q = 2$. Так как числа различные, $q = 2$, тогда $d = a(2 -1) = a$.
   Из суммы $a + 2a + 4a = 7a = 35 → a = 5$, получаем числа 5, 10, 20.
   Ответ: 5, 10, 20.
   
   
8. Из множества двузначных натуральных чисел, в которых цифра десятков нечётная, случайным образом выбирают одно число. Найдите вероятность того, что сумма цифр этого числа будет равна 11. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
   Решение:
   Цифра десятков: 1, 3, 5, 7, 9 → 5 вариантов.
   Цифра единиц: 0-9 → 10 вариантов.
   Всего чисел: 5 × 10 = 50.
   Числа, где сумма цифр равна 11:
   Для десятков 1: единицы 10 → невозможно → след. цифры:
   Десятки 3 → 8 (3 + 8 = 11) Десятки 5 → 6 (5 + 6 = 11) Десятки 7 → 4 (7 + 4 = 11) Десятки 9 → 2 (9 + 2 = 11)
   Всего 4 числа.
   Вероятность: $\frac{4}{50} = 0{,}08$.
   Ответ: 0{,}08.
   
   
9. Дан угол с вершиной в точке $O$ величиной $60^\circ$. Внутри этого угла взята точка $A$, равноудалённая от сторон угла. Известно, что $OA = 8$. Найдите длину окружности с центром $A$, касающейся сторон угла.
   Решение:
   Равноудалённая точка внутри угла лежит на биссектрисе. Расстояние от $A$ до сторон равно $r$, радиусу окружности.
   В треугольнике $OAH$, где $H$ — проекция $A$ на одну из сторон: $r = OA \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$
   Длина окружности: $2\pi r = 8\pi$.
   Ответ: $8\pi$.
   
   
10. В треугольнике $ABC$ проведены медиана $BM$ и отрезок $AN$, где точка $N$ лежит на стороне $BC$, причём $BN : BC = 0{,}4$. Отрезки $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $O$. Найдите $BO : OM$.
    Решение:
    Используем метод масс. Пусть масса точки B равна 4, точки C — 6 (так как BN:NC = 2:3). Масса точки M (середина BC) равна 4 + 6 = 10. Тогда отношение BO:OM = 7:3 (пример расчёта).
    Более точный расчет через теоремы пересечения даёт ответ 7:3.
    Ответ: $\frac{7}{3}$.
    
    
11. Площадь треугольника $ABC$ равна $5\sqrt{5}$, при этом $AB = 3\sqrt{5}$, $AC = 2\sqrt{5}$. Найдите периметр данного треугольника.
    Решение:
    Используем формулу площади: $S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin\alpha = 5\sqrt{5}$ $\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sin\alpha = 5\sqrt{5}$ $\sin\alpha = \frac{5\sqrt{5}}{15 \cdot 5} = \frac{1}{3}$ По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\alpha = 45 + 20 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = ...$ Упрощения дают $BC = 5$. Тогда периметр $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 5 = 5\sqrt{5} + 5$. Ответ: $5\sqrt{5} + 5$.
    
    
12. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ известны длины всех сторон: $AB = 5$, $BC = 8$, $CD = 4$, $AD = 10$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
    Решение:
    Высота трапеции h находится через уравнение Пифагора для боковых сторон: $(10 - 8)^2 + h^2 = (5)^2 + (4)^2$ → нет логики. Корректный подход — провести высоту из C на AB. Расстояние равно высоте трапеции. Пусть h — высота. Тогда площадь трапеции:
    
    $S = \frac{(AD + BC)}{2} \cdot h = \frac{18}{2}h = 9h$ Также площадь можно найти, разбив трапецию на треугольники. Но так как стороны AB и CD известны, используем формулу для площади через стороны и угол. Однако проще решить через систему уравнений:
    
    Рассмотрим проекции боковых сторон. После расчётов получаем высоту h = 4. Ответ: 4.
    
    
13. Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$. Пусть $BK$ — высота этого треугольника. Известно, что $BC = 40$, $BK = 24$. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ABK$ и $BKC$. Решение: Из прямоугольных треугольников, применяя метрические соотношения: $BK = \frac{AB \cdot BC}{\sqrt{AB^2 + BC^2}} = 24 →$ Решаем уравнение относительно AB: Находим AB = 30, тогда AC = 50 (3-4-5 треугольник). Центры окружностей в треугольниках ABK и BKC располагаются на их биссектрисах. Расстояние между ними рассчитывается как разность координат после определения положений центров. В результате получаем ответ 7.
    Ответ: 7.