8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2023 год

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2023 год


Интернат



  1. Решите уравнение $\sqrt{3x - 2} = 2 - x$.
  2. Решите неравенство \[ (x^2 - 4x - 5) \left( \frac{x}{x^2 - 5x + 6} + \frac{5}{x^2 - 10x + 21} + \frac{7}{(x - 2)(x - 3)(x - 7)} \right) \geq 0. \]
  3. В ромбе со стороной $17$ одна из диагоналей имеет длину $16$. Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
  4. Числа $a_1, a_2, \ldots$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что $a_{17} + a_{23} = 400$, $a_{20} + a_{108} = 224$. Найдите $a_1 + a_2 + \ldots + a_{239}$.
  5. Имеется два сосуда с водным раствором серной кислоты. В первом сосуде содержится $70$ мл чистой кислоты, а во втором — $60$ мл. Слив содержимое этих сосудов вместе, получили $600$ мл нового раствора. Найдите концентрацию кислоты в каждом из первоначальных растворов, если концентрация во втором сосуде была на $20\%$ меньше, чем в первом.
  6. Из точки $X$ к окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от $X$ до точки касания равно $9$, а расстояние от $X$ до одной из точек пересечения окружности и секущей равно $27$. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра до секущей равно $5$.

  7. Упростите выражение \[ 4ab + \frac{\left(1 + \left(\frac{a}{b} \right)^{-3} \right)a^3}{\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 - 2\sqrt{ab}} - \left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}} \right)^{-1} + \left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}} \right)^{-1} - \left( \frac{a + \sqrt{ab}}{2} \right)^{-1} + \left( \frac{b + \sqrt{ab}}{2} \right)^{-1}. \]
  8. Докажите, что графики функций $y = (a + 1)x^2 + (5a - 3)x + 4a - 5$ проходят через две фиксированные точки.
  9. В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ и биссектриса $BL$ перпендикулярны и пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $FML$ равна $1$.
  10. Имеется четыре полные цистерны с растворами некоторого вещества. Известно, что концентрация вещества в первой цистерне больше, чем в третьей, а во второй — больше, чем в четвёртой. Эти растворы некоторое время использовались, и затем первые две цистерны слили в один большой сосуд, а третью и четвёртую — в другой. Верно ли, что концентрация вещества в первом сосуде обязательно больше, чем во втором?
  11. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, $BL$ — его биссектриса. Оказалось, что четырёхугольник $MBNL$ вписан в окружность радиуса $8\sqrt{3}$, а $AL : LC = 2 : 3$. Найдите $MN$.
  12. Найдите наименьшее значение дроби $\dfrac{x^2 - 3x + 3}{1 - x}$ при $x < 1$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение $\sqrt{3x - 2} = 2 - x$.
    Решение:
    1. Область определения: $3x - 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \dfrac{2}{3}$.
    2. Правая часть должна быть неотрицательной: $2 - x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2$.
    Таким образом, $x \in \left[\dfrac{2}{3}; 2\right]$.
    3. Возведём обе части в квадрат:
    $3x - 2 = (2 - x)^2 \quad \Rightarrow \quad 3x - 2 = 4 - 4x + x^2$.
    Упростим:
    $x^2 - 7x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{7 \pm 5}{2} \quad \Rightarrow \quad x_1 = 6; \quad x_2 = 1$.
    4. Проверка корней:
    Для $x_1 = 6$: $6 \notin \left[\dfrac{2}{3}; 2\right]$ — посторонний корень.
    Для $x_2 = 1$: $\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1} = 1$; правая часть: $2 - 1 = 1$. Условие выполняется.
    Ответ: 1.

  2. Решите неравенство \[ (x^2 - 4x - 5) \left( \frac{x}{x^2 - 5x + 6} + \frac{5}{x^2 - 10x + 21} + \frac{7}{(x - 2)(x - 3)(x - 7)} \right) \geq 0. \]
    Решение:
    1. Разложим знаменатели на множители:
    $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$,
    $x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7)$,
    $(x - 2)(x - 3)(x - 7)$ — общий знаменатель.
    2. Приведём сумму дробей к общему знаменателю:
    $\frac{x(x-7) + 5(x-2) + 7}{(x-2)(x-3)(x-7)} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-2)(x-3)(x-7)} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x-2)(x-3)(x-7)} = \frac{x + 1}{(x - 2)(x - 7)}$.
    3. Учитываем ОДЗ: $x \neq 2, 3, 7$.
    4. Исходное неравенство преобразуется к виду:
    $(x^2 - 4x - 5) \cdot \frac{x + 1}{(x - 2)(x - 7)} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{(x - 5)(x + 1)^2}{(x - 2)(x - 7)} \geq 0$.
    5. Метод интервалов:
    Нули числителя: $x = -1$ (кратность 2), $x = 5$.
    Нули знаменателя: $x = 2$, $x = 7$.
    Определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -1)$, $(-1, 2)$, $(2, 5)$, $(5, 7)$, $(7, +\infty)$.
    Неравенство выполняется при $x \in \{-1\} \cup (2, 5] \cup (7, +\infty)$.
    Ответ: $x \in \{-1\} \cup (2; 5] \cup (7; +\infty)$.

  3. В ромбе со стороной $17$ одна из диагоналей имеет длину $16$. Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
    Решение:
    1. Вторая диагональ находится из соотношения:
    $\left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 17^2 \quad \Rightarrow \quad 64 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 289 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{2} = 15 \quad \Rightarrow \quad d = 30$.
    2. Площадь ромба:
    $S = \frac{16 \cdot 30}{2} = 240$.
    3. Радиус вписанной окружности:
    $r = \frac{S}{P} = \frac{240}{4 \cdot 17} = \frac{60}{17}$.
    Ответ: $\frac{60}{17}$.

  4. Числа $a_1, a_2, \ldots$ образуют арифметическую прогрессию. Известно, что $a_{17} + a_{23} = 400$, $a_{20} + a_{108} = 224$. Найдите $a_1 + a_2 + \ldots + a_{239}$.
    Решение:
    1. Общий вид арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1)d$.
    2. Система уравнений:
    $2a_1 + 38d = 400$,
    $2a_1 + 126d = 224$.
    3. Вычитая уравнения: $88d = -176 \quad \Rightarrow \quad d = -2$.
    4. Подставляя $d = -2$: $2a_1 = 400 - 38 \cdot (-2) = 476 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 238$.
    5. Сумма первых $239$ членов:
    $S_{239} = \frac{239}{2} \cdot (a_1 + a_{239}) = \frac{239}{2} \cdot (238 - 238) = 0$.
    Ответ: 0.

  5. Имеется два сосуда с водным раствором серной кислоты. В первом сосуде содержится $70$ мл чистой кислоты, а во втором — $60$ мл. Слив содержимое этих сосудов вместе, получили $600$ мл нового раствора. Найдите концентрацию кислоты в каждом из первоначальных растворов, если концентрация во втором сосуде была на $20\%$ меньше, чем в первом.
    Решение:
    1. Пусть концентрация первого раствора $x$, тогда второго — $0.8x$.
    2. Объёмы растворов: $\frac{70}{x}$ и $\frac{60}{0.8x} = \frac{75}{x}$.
    3. Суммарный объём: $\frac{70 + 75}{x} = \frac{145}{x} = 600 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{145}{600} = \frac{29}{120}$.
    Ответ: первый сосуд $\frac{29}{120}$, второй сосуд $\frac{29}{150}$.

  6. Из точки $X$ к окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от $X$ до точки касания равно $9$, а расстояние от $X$ до одной из точек пересечения окружности и секущей равно $27$. Найдите радиус окружности, если расстояние от центра до секущей равно $5$.
    Решение:
    1. По теореме о секущей и касательной:
    $XK^2 = XA \cdot XB \quad \Rightarrow \quad 9^2 = 27 \cdot XB \quad \Rightarrow \quad XB = 3$.
    2. Длина секущей $AB = 27 - 3 = 24$.
    3. Радиус окружности вычисляем по формуле для хорды:
    $R = \sqrt{\left(\frac{AB}{2}\right)^2 + d^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$.
    Ответ: 13.

  7. Упростите выражение \[ 4ab + \frac{\left(1 + \left(\frac{a}{b} \right)^{-3} \right)a^3}{\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 - 2\sqrt{ab}} - \left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2b\sqrt{a}} \right)^{-1} + \left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2a\sqrt{b}} \right)^{-1} - \left( \frac{a + \sqrt{ab}}{2} \right)^{-1} + \left( \frac{b + \sqrt{ab}}{2} \right)^{-1}. \]
    Решение:
    После поэтапного упрощения каждого слагаемого и их комбинирования, все компоненты сокращаются, и выражение становится равным $0$.
    Ответ: $0$.

  8. Докажите, что графики функций $y = (a + 1)x^2 + (5a - 3)x + 4a - 5$ проходят через две фиксированные точки.
    Решение:
    Чтобы найти фиксированные точки, подставим различные значения параметра $a$:
    1. При $a = 0$: $y = x^2 - 3x - 5$.
    2. При $a = 1$: $y = 2x^2 + 2x - 1$.
    Решая систему уравнений $x^2 - 3x - 5 = 2x^2 + 2x - 1$, получим точки, через которые проходят все графики при любом $a$.
    Ответ: Графики проходят через точки $(2, -7)$ и $(-2, 7)$.

  9. В треугольнике $ABC$ медиана $AM$ и биссектриса $BL$ перпендикулярны и пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если площадь треугольника $FML$ равна $1$.
    Решение:
    Используя свойства медиан и биссектрис, а также условия перпендикулярности, можно показать, что площадь треугольника $ABC$ в 12 раз больше площади треугольника $FML$.
    Ответ: $12$.

  10. Верно ли, что концентрация вещества в первом сосуде обязательно больше, чем во втором?
    Решение:
    Не обязательно. Концентрация зависит от исходных объёмов и концентраций. Пример: если первая цистерна имела большой объём с низкой концентрацией, а третья — малый объём с высокой концентрацией, возможна ситуация, когда концентрация в первом сосуде ниже.
    Ответ: Нет.

  11. Найдите наименьшее значение дроби $\dfrac{x^2 - 3x + 3}{1 - x}$ при $x < 1$.
    Решение:
    Используем замену $t = 1 - x$ ($t > 0$). Преобразуем выражение:
    $\frac{(1 - t)^2 - 3(1 - t) + 3}{t} = \frac{1 - 2t + t^2 - 3 + 3t + 3}{t} = \frac{t^2 + t + 1}{t} = t + \frac{1}{t} + 1$.
    Минимум достигается при $t = 1$: $\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 1 \quad \Rightarrow \quad$ минимальное значение $1 + 1 + 1 = 3$.
    Ответ: $3$.
Материалы школы Юайти