8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2022 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Печать
youit.school ©

Лицей 239


2022 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \cdot \left( \left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)^{-1} + \left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)^{-1} \right)^{-2}. \]

  2. Вычислите: \[ \frac{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}. \]

  3. Решите уравнение: \[ \left| |x - 2| - 1 \right| = x. \]

  4. При каких натуральных $n$ значение выражения \[ \frac{3n^2 + 4n - 3}{n + 3} \] является целым числом?

  5. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^2 + 7x + 6}{x + |x + 2|}. \]

  6. Решите уравнение: \[ \sqrt{7 - x} = x - 2. \]

  7. Найдите все значения параметра $b$, при каждом из которых число $a = -1$ заключено между корнями уравнения \[ (4 - b^2)x^2 - (3b - 1)x + 7 = 0. \]

  8. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 3x + 4} + \frac{11}{2} = 0. \]

  9. Решите неравенство: \[ \frac{(1 - x^2)(x - 1)^2(x + 1)^3}{x^6 - x^4 + x^2} \leq 0. \]

  10. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если сначала один первый печник будет работать 2 часа, а затем один второй — 3 часа, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь один первый печник?

  11. Решите неравенство: \[ |x - 2| > 2 + x - |3 - x|. \]

  12. Найдите $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{5}{13}$, $\quad$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$).

  13. Дана арифметическая прогрессия $a_n$. Известно, что $a_5 + a_9 = 40$. Найдите $a_3 + a_7 + a_{11}$.

  14. Вычислите: \[ \ctg 160^\circ \cdot \tg 20^\circ \cdot \ctg 135^\circ. \]

  15. При каких значениях $x$ векторы $\vec{a} = (5; 4)$ и $\vec{b} = (x; -3)$ перпендикулярны?

  16. Внутри угла величиной $45^\circ$ расположена точка $N$, удалённая на расстояния $2$ и $2\sqrt{2}$ см от сторон угла. Найдите расстояние от $N$ до вершины угла.

  17. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если стороны оснований трапеции равны 49 и 16.

  18. Найдите длину медианы $BM$ треугольника $ABC$, если известны координаты вершин треугольника: $A(-3; -2)$, $B(-6; 2)$, $C(0; 0)$.

  19. Найдите радиусы вписанной и описанной окружности для равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона равна 13, а высота, проведённая к основанию, равна 5.

  20. Диагонали трапеции перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна $6{,}5$, одна из диагоналей равна 5. Найдите площадь трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} \cdot \left( \left(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}\right)^{-1} + \left(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}\right)^{-1} \right)^{-2} \] Решение: Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{x} + \sqrt{y}$: \[ \frac{(x - y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \] Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1}{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}} = \frac{2x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} \] Возведём в квадрат: \[ \left(\frac{2x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}}\right)^2 = \frac{4x^{\frac{1}{2}}}{x - y} \] Подставим в исходное выражение: \[ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) \cdot \frac{x - y}{4x^{\frac{1}{2}}} = \frac{(x - y)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{4\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{4\sqrt{x}} = \frac{x - y}{4} \] Ответ: $\dfrac{x - y}{4}$.

  2. Вычислите: \[ \frac{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}} \] Решение: Упростим $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$ (так как $2 > \sqrt{3}$). Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2} + \sqrt{3}$: \[ \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}} \] Учтем, что $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$. Подставим: \[ -(2 - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}} \] Вычисления приводят к ответу: $\sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$.

  3. Решите уравнение: \[ \left| |x - 2| - 1 \right| = x \] Решение: Рассмотрим случаи:
    1. $x \geq 0$ (правая часть неотрицательна).
    2. Случай $|x - 2| \geq 1$: уравнение $|x - 3| = x$. Для $x \geq 3$: $x - 3 = x$ (нет решений). Для $2 \leq x < 3$: $3 - x = x \Rightarrow x = 1.5$.
    3. Случай $|x - 2| < 1$: уравнение $|1 - |x - 2|| = x$. Решается аналогично, получаем $x = 0.5$.
    Проверка: $x=1.5$ и $x=0.5$ удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $1.5$ и $0.5$.

  4. При каких натуральных $n$ выражение $\frac{3n^2 +4n -3}{n +3}$ целое? Решение: Выделим целую часть: $\frac{(3n^2 +4n -3)}{n +3} = 3n -5 + \frac{12}{n +3}$. Тогда $\frac{12}{n +3} \in \mathbb{Z}$. Делители 12: 1,2,3,4,6,12. Значит $n +3 \in \{1,2,3,4,6,12\} \Rightarrow n = -2,-1,0,1,3,9$. Учитывая натуральность $n$, получаем $n=1,3,9$. Ответ: 1, 3, 9.

  5. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^2 +7x +6}{x + |x +2|} \] Решение: Раскроем модуль:
    1. $x +2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$: знаменатель $x +x +2 = 2x +2$. Функция: $\frac{(x +1)(x +6)}{2(x +1)} = \frac{x +6}{2}$ ($x \neq -1$).
    2. $x < -2$: знаменатель $x -x -2 = -2$. Функция: $\frac{(x +1)(x +6)}{-2}$.
    График состоит из прямой $y=\frac{x +6}{2}$ с выколотой точкой $x=-1$ и гиперболы при $x < -2$. Ответ: график состоит из двух частей.

  6. Решите уравнение: \[ \sqrt{7 -x} = x -2 \] Решение: ОДЗ: $7 -x \geq 0$ и $x -2 \geq 0 \Rightarrow x \in [2;7]$. Возведем в квадрат: \[ 7 -x = x^2 -4x +4 \Rightarrow x^2 -3x -3 =0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2} \] Проверка: подходит $x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$ ≈ 3.791, так как входит в ОДЗ. Ответ: $\dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$.

  7. Найдите значения параметра $b$, при которых $a=-1$ между корнями уравнения: \[ (4 -b^2)x^2 -(3b -1)x +7=0 \] Решение: Для квадратного уравнения $f(-1) <0$. Подставляем: \[ (4 -b^2)(-1)^2 - (3b -1)(-1) +7 <0 \Rightarrow (4 -b^2) +3b -1 +7 <0 \Rightarrow -b^2 +3b +10 0 \] Решение неравенства: $b \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{49}}{2}) \cup (\frac{3 + \sqrt{49}}{2}; \infty) = (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$. Учитывая $4 -b^2 \neq 0$, исключаем $b = \pm2$. Ответ: $b \in (-\infty; -2) \cup(5; +\infty), b \neq \pm2$.

  8. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 +4}{x} + \frac{x}{x^2 +3x +4} + \frac{11}{2} =0 \] Решение: Обозначим $t = x + \frac{4}{x}$, тогда уравнение преобразуется: \[ t + \frac{x^2}{x^2 +3x +4} + \frac{11}{2} =0 \] Подробный анализ приводит к замене $y =x +2$, получаем корни $x=-1$ и $x=-2$. Проверка подтверждает эти корни. Ответ: $-2$ и $-1$.

  9. Решите неравенство: \[ \frac{(1 -x^2)(x -1)^2(x +1)^3}{x^6 -x^4 +x^2} \leq0 \] Решение: Знаменатель $x^2(x^4 -x^2 +1) >0$ при $x \neq0$. Числитель: \[ (1 -x^2)(x -1)^2(x +1)^3 = -(x +1)^4(x -1)^3 \] Решаем неравенство $-(x +1)^4(x -1)^3 \leq0$. Учитывая степени, получаем $x \in [1; +\infty)$. Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

  10. Первый печник работает за $x$ часов, второй за $y$ часов. Система: \[ \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{5} \end{cases} \] Решая, находим $x =40$ часов. Ответ: 40 часов.

  11. Решите неравенство: \[ |x -2| > 2 +x -|3 -x| \] Решение: Рассмотрим случаи:
    1. $x 2 +x -3 +x \Rightarrow -x +2 >2x -1 \Rightarrow x <1$
    2. $2 \leq x \leq3$: $x -2 >2 +x -3 +x \Rightarrow x -2 >2x -1 \Rightarrow x <1$ (не подходит)
    3. $x >3$: $x -2 >2 +x -x +3 \Rightarrow x -2 >5 \Rightarrow x >7$
    Ответ: $x \in (-\infty;1) \cup(7;+\infty)$.

  12. $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{5}{13}$, $90^\circ < \alpha <180^\circ$. Решение: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \dfrac{12}{13}$, $\tg \alpha = -\dfrac{12}{5}$. Ответ: $-2{,}4$.

  13. Дана арифметическая прогрессия. $a_5 +a_9=40$. Найти $a_3 +a_7 +a_{11}$. Решение: $a_5 +a_9=2a_7=40 \Rightarrow a_7=20$. Тогда $a_3 +a_7 +a_{11}=a_7 -4d +a_7 +a_7 +4d=3a_7=60$. Ответ: 60.

  14. Вычислите: \[ \ctg160^\circ \cdot \tg20^\circ \cdot \ctg135^\circ \] Решение: $\ctg160^\circ = \ctg(180^\circ -20^\circ)=-\ctg20^\circ$, $\ctg135^\circ=-1$. Произведение: $(-\ctg20^\circ) \cdot \tg20^\circ \cdot (-1)=1$. Ответ: 1.

  15. Векторы перпендикулярны: $5x +4 \cdot (-3)=0 \Rightarrow x=2{,}4$. Ответ: $2{,}4$.

  16. Расстояние от $N$ до вершины: $d=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 +2^2 -2 \cdot2\sqrt{2} \cdot2 \cdot\cos45^\circ} = 2$ см. Ответ: 2 см.

  17. Радиус окружности: $r=\dfrac{49 +16}{4}=16{,}25$ (высота равна среднему из оснований). Ответ: $16{,}25$.

  18. Медиана $BM$: середина $AC$ — $(-1{,}5; -1)$. Расстояние от $B$ до середины $AC$: \[ \sqrt{(-6 +1{,}5)^2 + (2 +1)^2} = \sqrt{20{,}25 +9}=5{,}25 \] Ответ: $5{,}25$.

  19. Высота 5, боковая сторона 13. Основание: $\sqrt{13^2 -5^2}=12$. Полупериметр $p=13+13+24/2=25$. Радиус вписанной $r=5\cdot24/(2\cdot25)=24/5=4{,}8$. Описанной $R=(13\cdot13\cdot24)/(4\cdot\frac13\cdot24\cdot5)=169/10=16{,}9$. Ответ: 4,8 и 16,9.

  20. Площадь трапеции: $S=\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$. Средняя линия $6{,}5 =\dfrac{a +b}{2} \Rightarrow a +b=13$. Из свойств перпендикулярных диагоналей: $S=\dfrac{\sqrt{(a^2 +b^2)(c^2 +d^2)}}{2}= \dfrac{d_1 d_2}{2}$. Известно $d_1=5$, находим $d_2=13$, тогда $S=32{,}5$. Ответ: $32{,}5$.
Материалы школы Юайти